qui ne peuvent pas tous annuler B' — B. Ainsi Ion

doit avoir

Cn+i = { in — i^C/t — X- C/i i, 871+1 = (2/1 — OSrt — >r2S„i;

on en conclut, en faisant n ^ — i r O5 • > 2, ... et en observant que, comme Uq = sinx, U, ^ — .x cosx + sin^,

Cl = — ar^C-i, Si=i — 37-5-1,

G2=3Gi — ar^Co, S.2=3Si — x-Sq,

Ces formules permettront de calculer Co, C), ... de proche en proche, et l'on voit que

Or on a

1 cosjr L.i=-j b i=o, U-i =

U„+i = U„ ( 2 n -M j — X- Ln-

U,i-i 2ft — I I

donc

Uo x- bo-y- : bi I I

x^- Uix-i : Us

^ L'i cosa: . cot.r ,

Or -p-^ = : sinj: = — ~; on a donc

cota" I X x^

356 CHAPITUE VII.

OU

langer x

OU enfin

tang:.r =

Cette équation prouve que, si x est commensurable, tangx

ne saurait l'être; donc, si -. était commensurable, tang7 = \

ne saurait l'être, ce qui est absurde; le nombre t: est donc incommensurable.

Si l'on fait .27 = .r'y — i, on aura

ce qui prouve de même que e'' est incommensurable, quand x est commensurable.

On a aussi

tan'T-î' I

donc, si X- est commensurable, — '-— ne le sera pas. raisons

X = r., on aura

donc

donc 71- pas plus que t: ne peut être commensurable ('). (Hermite, Comptes rendus, ^^~^-)

XVII. — Développement des irrationnelles algébriques et des racines de l'équation du second degré en particulier.

Soient F(x) = o une équation algébrique, a une valeur entière approchée par défaut d'une racine : si l'on lait

X ^ a -\- — > l'équation F{x) =^ o se transforme en une autre

F, (^,)=o. Soit a, une valeur approchée par défaut et entière d'une racine de cette équation : on pourra poser

x, = a,-, et ainsi de suite; on obtiendra ainsi le déve-

loppement suivant pour une i^acine

Celte méthode pour la résolution des équations a été développée par Lagrange; elle conduit, pour les équations du deuxième degré, à une conséquence remarquable. Soit

(i) fxx^--h'^x-h-( = 0

une équation du second degré à cocfficienls entiers, et sup-

(1) Depuis que ces lignes ont été écrites, MM. Hermite et Lindemann sont parvenus à dcmonlrcr que les nombres tt et e ne sauraient ùlre racines fl'une équation algébrique à coelTicienls entiers. M. Rouché a reproduit leur démonstration à la fin de la dernière édition de sa Géométrie.

posons qu'en appliquant la méthode de Lagrange on ait

trouve

«iH-

pour le développement d'une racine; a, «( ... sont alors des entiers positifs (excepté peut-être a).

Appelons 7^ • • • j^ les réduites successives de la fraction

continue, abstraction faite du terme ^«+1, on aura

portant cette valeur dans l'équation (i), on aura (2) a'a^2 + i^ p'a■„+l-^ y'= o,

formule où l'on a posé

p'=2aP„,P„,--p(P„iQ„4-Q„,P„)-i-2YQ«Q„-,, Y'=aP2-4-pp„Q„--YQ;-i.

Or considérons la valeur de a'; on peut l'écrire

et, en posant

et en tenant compte de (i),

mais s est moindre que ^ ou que 7^^^ — ; donc

a < 2 aa; -i- p -f- -, — >

THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES. SoQ

en supposant a >> o, ce qui est permis. 11 en résulte que a' ne croît pas indéfiniment avec n ; on verrait d'une façon analogue que ^' et y' ne croissent pas non plus indéfiniment. Comme ces nombres a', ^', -^ sont entiers, ils finiront par se reproduire, et il y aura une inconnue auxiliaire Xn qui finira par être égale à l'une des inconnues auxiliaires précédentes; le dévelop])ement des racines de l'équation (i) finira par être périodique ; on a donc ce théorème de Lagrange :

Toute racine d'une équation du second degré à coefficients entiers se développe en fraction continue périodique, dont les numérateurs sont égaux à un et les dénominateurs entiers.

La démonstration précédente est de M. Charves.

Réciproquement, toute fraction continue périodicjue est racine d'une équation du second degré, qu'il est facile de former.

En efi'et, soit

La période se composant des dénominateurs ;/, v, . . . , tv,

on a

u' P-^PY y = = .^1 ^ ,

p,j)', q-i q' désignant des quantités indépendantes àe y; on voit, en chassant le dénominateur, que )' est racine de l'équation

36o I , . CHAPiniE VIII.