I. — Théorème fondamental

On peut toujours trouver une fonction

y (tu t.2, . .., i„; 3ti, 3(2, a,,,)

de ti, t.^, . . . , tn et des paramètres a, , ao, . . . , a„, qui, pour tiZ= t\, t.. =^ t\i • • • . ^rt = /)), se réduise à une fonction donnée ^^"(^-i, c-o, ..., a„j) des a, qui pour ti = t^, t.2= t[,, . . . , t,i := t'^^ se réduise à une autre fonction donnée 'f'(y.\, y-2, • ■ , y-r?i)' qui pour a, ^= a", ao ^= a", . . . , se réduise à une fonction donnée 0''(^,, /o, . . . , t„) des t et qui pour a, = a',, y..y ^ a.,, . . . , se réduise à une autre fonction donnée 0'(^,, ioi • • •) des t.

En supposant, bien entendu, y{t\, tl. ..., a», a«, ...)='f{^\, ...)=0o(/o, ...) = 0o„,

X(«'i> t'-z ^\, ^'i, ...) = cp'(aY, ...)=eo(/',, ...) = e,o,

y(?î, /S, ..., a',, a',, . . .) = cpO(a'i, ...)=e'(fO, ...)=eo„ yjt\, t'.^, ..., a',, «;, ...)= o'(3:'i, ...) = 0'(<'i, ...)=e,i.

ce théorème est presque évident, et la fonction dont il est question peut revêtir une infinité de formes diverses. Bornons-nous à en signaler une seule : posons

(ti-t1)(t, — tl)...(t„-t?,)

To

if\-n){f'2'-n)...{t'n-t;\)

rj, ^ (ti — t\)(t2 — t',)...(tn — t'„)

, ^ (ai-a',')(a.,-ag)...(a,„-aO,)

' (a;-.aî)(a',-aS). ..(«;„-«?„)'

^ («1 — a'i )(«2 — «2 ) • • • («w — «'/«) . • (aO-a',)(a'>-a',)...(a?„-a;„)'

VARIATIONS DES I NT ÉCi RALES SIMPLES. 36 1

nous pourrons prendre

7 =T,(oO eooAo-eo,A,)

-^To(o'— e,oAn — e,,An^- A,0o— AoO',

comme il est facile de le vérilier en faisant /, = t", ... ou ^, = /|. ... ou a, = a", ... ou a, =^ a',