IV. — Méthode de Liouville

Liouville, dans le tome XX de son Journal, i'" série, a fait une remarque qui permet souvent de trouver un facteur d'intégrabilité. Considérons l'équation différentielle

introduisons dans la fonction y, en la généralisant, un paramètre a, ce qui est évidemment possible d'une infinité de manières, et soit

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le ic'sullaL oblcnu en difrérenlianl lolalcinent la fonclion/cl

en y remplaçant ^ par /. Si le paramètre a a été choisi de

telle sorte que/t{x,j-) ou même 'f (/)/i (j", j) ne le contienne plus, '■:>{/) désignant une fonction quelconque de /, l'intégrale de l'équation (i) pourra être représentée ])ar

en d'autres termes, '^{f) — sera un facteur dinlégrabilité de dy — fdx.

Pour démontrer ce théorème, observons que, '^{f)f\ ne contenant plus a, on a

= o ou

c'est-à-dire

'^y'M%-fm-

ou

ôxl' -^ ' Ox\ Oy L' '^'' ' Ool\

il en résulte que

olf)'M.dy — fz(f) '-^ fix

est une difTérentiellc exacte; si donc on met l'équation proposée (i) sous la forme

dy — f dx = o,

on voit que '■p(/) -p sera un facteur d'intégrabililé.

On voit que, pour que la méthode d'intégration précédente