III. — Variation d'une intégrale

Lorsque l'on veut étudier les cbangemenls que subit une

intégrale quand on modifie la fonction placée sous le signe / ,

ainsi que les limites, on peut imaginer que ces changements s'opèrent au moyen de la variation d'un ou de plusieurs paramètres a,, a^, ... contenus dans la fonction à intégrer et

dans les limites; mais, au moyen d'un artifice que nous allons indiquer, on peut se dispenser de faire varier les limites, ce qui évite souvent des complications.

Considérons, par exemple, l'intégrale

.)dx,

dans laquelle F est une fonction quelconque de x, r, y', . . . z, z', . . . de forme donnée; j', z, . . . des fonctions de forme indéterminée de x; et y', z', y" ^ z" , . . . leurs dérivées relatives à X. On peut, si on le juge à propos, faire varier j', z, Xo, Xt , les valeurs j'q, yt de y pour x = Xq ei x = x^, ... les valeurs ;; = ^o, ^ = ^i de z pour x = Xo, x = Xi, .... Alors on imagine un changement de variable : on pose

z = <\>(t, «1, CC.2, . ..),

et Ton prend pour nouvelle variable d'intégration t. On détermine ensuite la forme des fonctions cp, y, <b, . . . de telle sorte f[ue, pour t = t^, x se réduise à Xq, y d y^, z à ^o» • • • ! que, pour t^=ti^xsc réduise à Xi, j- à j',, z à :;,; que, pour a, = a", ao = a^, ... x, y, z se réduisent à des fonctions données de i, à savoir <I>o(0' ^o{t), W^^t), . . .; que, pour a, = y.\, . . . ^ x^ y, z se réduisent à <ï>, (t), X, (l), W^ (/). Ces fonctions $o? ^o, ^oi •••; ^t^ ^n ^i 7 ••• peuvent d'ailleurs être choisies de telle sorte que, par l'élimination de ^, j' et :;, ... deviennent des fonctions données de x pour a, = a", ... et pour a, = y-\, . • • •

Les limites de l'intégrale ne contiennent pas les a après ce changement de variables, et alors la variation de l'intégrale, ou sa difTérentielle totale relative aux a pourra se prendre

simplement en différentiant sous le signe / . Nous allons maintenant développer le calcul de ou.