IV. — Première méthode

De l'équation

11= F(x, j, y, ...,z,z', ...)dT,

on tire, en observant que .ro etx,, après le changement de variable, doivent être remplacés par ^o et ^i et que dx doit

ètie remplacé par -r- dt^ mais en n'effectuant pas ce changement que l'on sous-entend

OM = / r^F <r/^ ^- Fo c^:r);

or, eh observant que o dx = ô -7- f/^ = -.- Zx dl = dox et ' ^ clt dt

en intégrant par parties, on a

ou = j Fo.r-f- / {oF dx — dFox);

or, en appelant X, Y, Y', . . . , Z, Z', . . . les dérivées partielles

de F relatives à x, j', y', . . . , z, z\ . . . , on a

ou = I Fox— I [(oydx — ox dy)Y -^(oz dx — ox dz )Z

-f- {oy'dx — ox dy)\'-i-. . . | ;

la fonction F pourrait contenir jcojJKo) ^o? • • • 1 -^ijJ'i» ^i- • • • ^ dans ce cas, il faudrait ajouter sous le signe / les termes

dF , ()F ,

dxo Oj'o

que nous n'écrivons pas pour ne pas trop compliquer. Ou

peut encore écrire l'expression précédente ainsi l oa = / F 8^

i -^ / dx[(oy^yrjx)y-^{oz — z'ox)Z-^.. .->r-(oy' —y"ox)Y'

' -^{oz' — s"oj7jZ'-f-. . .-H (oy — ^"'o:r)Y"-i-

Si nous posons alors

ui =z oy — y' ox, rn = oz — ■ z' ot, nous aurons, en différentiant par rapport à /,

<r/to = 0 dy —y'^ dx — dy'Zx ou, en observant que o dy = o[y' dx)-=^ Zy' dx -HJk'o dx,

d(x> = oy'dx — dy'ox = dx{oy' — J'" ox I ou bien

{■>.) oi' = oy' — y"ox.

Différentiant encore, on a

d'o' = oy" dx -T- y" ô dx — y'" dx ox — y" d ox

ou u

doj'=^dx{^y"—y'"cx),

c'est-à-dire

w" = oy" — y'ôx, (3)

(a) et (3) permettent d'écrire (i) comme il suit ou = I Vox-i- 1 f/.r f o) Y -f- TU Z -^ .

. -T- to' Y'

to'Z'-^. . .-^to"Y"-T- m"Z"-^.. .]

OU, en intégrant par parties,

ou — I (Fox^(x>\'—mZ'—... — w'Y'' — m'Z"-^ . . . — w —z h. . . )

Telle est l'expression de la variation de a; elle est de la forme

tî et n ne contenant plus une seule variation.