VI. — Troisième méthode

Pour trouver la variation d'une intégrale définie, on peut enfin suivre une troisième méthode qui s'applique assez bien aux intégrales multiples, et sur laquelle nous aurons à revenir. On suppose que les fonctions i', z, . . . , dont il a été question aux paragraphes précédents, renferment des paramètres a,, ao, . . . , entrant dans les limites Xq, x, de l'intégrale que l'on

VARIATIONS DES INTÉGRALES SIMPLES. SGy

veut faire varier, à savoir

F dx.

Sa variation o« ou sa différentielle totale relative aux a sera, en appliquant la règle de la différentiation sous le signe / pour le cas où les limites sont variables,

ou := I VoT — 1 dx oF OU, en observant que x ne varie pas,

ou = I F 037-1- 1 {Yoy'^Y'oy-h...)dx; l'intégration par parties donne

ou= F?.x-^j Yiy~j Yôy-/ ^ôj-i-...

'j'o '-ri) '.r,, '.l'o

mais ojK, or', 5y, . . . n'ont pas ici la même signification que dans notre première méthode. Ainsi l'on n'a pas / 3jk'= oj'^, et il est bon de savoir transformer les expressions définies qui entrent dans la formule pix'cédente. / oy est égal à la valeur que prend oy pour x = x^^ de sorte que, s\y =f[x, a),

I àa

Au contraire,

û? r ^, . , df(xo, a.) j. dfiXf), «) j .

il faudra donc l'aire usage des lorinuies

la uolaliori / y' ox étant mise ici pourj^'^oxo^ de même

d'où l'on tire

oj = 'ijo — Jo°^0,

^j' = '">j'o— ro<^-^o,

en ayant égard à ces lormules et, par suite, aux suivantes

I oj = OJi — OJ

°7o— Ji'^^i-^J'oO^o,

il est facile de voir que la méthode actuelle fournil les mêmes résultats que la première.