VII. — Simplification

Lorsqu'une intégrale doit subir des cliangements par suite des changements de forme que prennent les fonctions

placées sous le signe /, les limites restant invariables, on

peut, ce que nous avons eu l'occasion de faire déjà plusieurs fois, supposer que les fonctions en (juestion contiennent des paramètres variables et supposer que les variations de l'intégrale proviennent des variations attribuées à ces paramètres;

dans ce cas, il n'est pas nécessaire de faire de changement de variable, et de supposer que la variable x^ par rapport à laquelle on intègre, contient les païamètres, et Ton a oj: = o. Alors on a simplement

0 / Ydx = / oF dr

= f \\oy-^Y'oy-+-Y"oy-r-...-^Zoz ...)dx

et, en intégrant par parties,

Cette expression de la variation de l'intégrale est, comme l'on voit, beaucoup plus simple.

VIII. — Condition pour qu'une fonction soit une dérivée exacte.

Nous avons déjà montré comment on pouvait intégrer l'expression F (a:, y, r', . . .) sans particulariser la forme de la fonction^ quand le problème était possible; nous allons reprendre celte question; pour en donner une nouvelle solution, à l'aide du calcul des variations, et ramener le problème à l'intégration d'une différentielle exacte, on obtient de cette laçon la solution la plus nette.

Nous avons déjà fait observer (t. III, p. 210) que, si l'intégrale

' F(^,y,y\y'- ■■.)dx,

dans laquelle jK, y >y', • • • représentent une fonction de x et

de ses dérivées, avait une valeur de la (orme /(x, y, y', . . .),

quelle que soit la forme donnée à y, sa valeur ne devait pas

SjO CHAPITRE VIII.

changer en faisant varier la forme de y, sans changer sa valeur ou celle de ses dérivées pour x = XoQlx ^= Xt. En effet, en appelant/(^,j', jk'j • • O^^ fonction dont F(j:, j', jk', • • ) est la dérivée, la valeur de l'intégi'ale de F est

et ne varie pas si j', y', y", . . . sont donnés pour x = x^ elx = Xi', or, quand on suppose les quantités x, y, y^ . . . invariables aux limites, on a

.)dx,

I, Y , ... A désignant, pour abréger, — » y-;? • • ? -r— ? et, en intégrant par parties, il vient

Pour que la variation de notre intégrale soit nulle, quel que soit 0/, il faut que

ou que

\dx ' dy dy'

Cette condition est d'ailleurs suffisante. Supposons-la satis-

faite : faisons varier l'intégrale

/= f^Fdx; mais, en supposant la limite inférieure telle, que x. j', y'.

y soient invariables, on aura

^/ ~ / i oF f/.r -f- F 0 r/r )

= Fo^- f (oFdx — dFr^r)

= F ox ^ Ç [ Y( or dx — r,r dy ) ^ Y' ( o v' f/.r — o.r dy' ,i . . . 1

= Fojr— / [YÇcij' — r' or) -r- V'(o)-'— /'or ) — ...] </./■;

si Ton fait Zy — ■ y'^x = oi, on a vu que rjy' — y" 0 r = oj'. ...

Ainsi l'on a

o/ = F oj" — / ( o) Y — oj' Y' -f- w" Y' — . . . ) dx

«-'.r,, OU

0/" = F o:r -;- oj Y ' -^ lo' V — c>j" Y "

U) — 5 — eu — . . . — U) — ....

dx dr dx

en observant que le coefficient de oj sous le signe y est précisément le premier membre de (i), c'est-à-dire nul. Si Ion remplace alors co par sa valeur, on a

o/ = F OJ" -- ( OJ- — y' Ix) I Y' — — . . . )

(oj^-ro.r)(Y -^-..j

cette expression est de la forme

r,f— L 0 j- -r- > '■y -t- \ 01- — V or - . . . et, par suite, y est l'intégrale de la différentielle totale Uoj7 -i- Vor -H. . ..

Sja CHAPITRE VIII.

que l'on peut maintenant écrire sans inconvénient

U d.r -}- \ dy -4- V" dy' -i- . . . , en considérant. r,),jK'j ••• comme des variables indépendantes.