IX. — Recherche du maximum ou du minimum d'une intégrale

définie.

Problème. — F(x,jk, z^y' , z' ,y" . . . .) désig nant une fonction donnée de x, y, z- et des dérivées y' ^ -p, ^' = -^ , • • • ,

on propose de trouver les fonctions de x qui^ mises à la place de y, g, rendront maxima ou mininia l'intégrale définie

u= I Vd.r.

Pour résoudre cette question, on fera varier l'intégrale u, et l'on exprimera que ou =o. En efiet, pour exprimer que ^, z rendent u maximum ou minimum, il faudra exprimer que, quand ces fonctions changent de forme infiniment peu, quels que soient les changements de forme éprouvés par y et z, u prend toujours un accroissement de môme signe, ces changements de l'orme pouvant être censés produits par la

variation d'un ou de plusieurs paramètres a,, ao Le

problème que nous voulons traiter ne diffère pas des problèmes ordinaires de maxima et de minima; il faut donc que la différentielle totale de u relative aux a ou ou soit nulle. Il faut aussi que o'-u reste toujours positif pour qu'il y ait minimum, et négatif pour qu'il j ait maximum. Pleureusement, la plupart du temps il n'est pas nécessaire de calculer o'-u, ce qui sei'ait fort pénible, et, par la nature même de la question, il est facile de discerner le maximum et le minimum.

De quelque manière que l'on s'y prenne pour calculer om, on doit obtenir les mêmes résultats ; nous avons vu cependant

la variation oa affecter deux formes différentes (p. 363 et p. 365), à savoir

0M = / U—f (iii,J-UT^)dx,

<2) 0» = / A— r '(AojT-T- Bor — Cojj;

d'après la forme (i), pour que l'on ait o;/ r=o, il faut que l'on ait séparément

(3) / Il=o, i> = o. II=o.

En effet, o) = ov — r'ox et ^=0: — c'ojr sont arl)llraires; on peut donc les choisir tels que, si ft et II ne sont pas nuls, l'intégrale ait tous ses éléments de même signe, et de

même signe que/ H si celle quantité n'est pas nulle; et

alors ou ne sera pas nul. Ainsi les formules (3) sont les con-

/"• ditions du maximum oudu minimum; d'ailleurs, pour que/ H

•'"0 soit nul, il faut que les coefficients des variables indépendantes qu'il contient soient nuls.

Un raisonnement analogue fait sur la formule (2) montre que les conditions du maximum ou du minimum sont aussi

11 semble que l'on trouve ainsi une condition de plus; mais les conditions (4) rentrent dans les conditions (3), et, bien que l'identification des formules (3) et (4) ne soit pas une tâche au-dessus des forces de l'Analyse, on peut voir a priori que les formules (4) peuvent se réduire à un nombre moindre d'une unité.

Sj^ CnAPITKE VIII.

Les équations A = o, B=o, C;i=o sont des équations difTérenlielles dans lesquelles la variable indépendante est <; les équations Q = o, Il = o sont des équations différentielles dans lesquelles la variable indépendante estx. Dans le premier cas a:, y, z sont des fonctions à déterminer; dans le second, y et z sont seuls à déterminer et le problème est résolu. Dans le premier cas, après avoir calculé ^, y, z en fonction de i, il faut éliminer l pour avoir le résultat, de sorte que les équations Q = o, n = o sont ce que deviennent A = o, B^o, C = o quand on a éliminé t. Comme, d'ailleurs, la relation qui lier à ^ est arbitraire, les équations (4) ne nous apprennent rien de plus que les équations (3).

Dans la pratique, les équations (4) devront être préférées aux équations (3), d'abord parce qu'elles sont plus symétriques, et ensuite précisément à cause de l'indétermination de la variable indépendante, ce qui est un avantage que nous avons eu souvent l'occasion d'apprécier.