X. — Résolution de quelques problèmes

Problème I. — Trouver le plus court chemin cV un point à un autre.

Soient .To, j'o> -^0 les coordonnées de l'un des points par rapport à trois axes rectangulaires, x^^^Vk , ^i les coordonnées de l'autre; il s'agit de rendre minima l'intégrale

M — / \/dx- -:- dy- — dz-,

qui exprime la longueur de la courbe cberchée. Calculons ou pour l'égaler à o : en supposant les limites variables et en les supposant tacitement remplacées par t^ et ^,, la variable d'intégration étant t et non plus j-, on a

hi — 1 0 \J dx- -- dy^ -f- «^.3-

Zu ~ I

' '■ d.r 0 dr -+- dy o dy -~- dzod:

ds

en écrivant ds au lieu de \dx'--\-dY-^dz-. En intégrant par parties, on a alors

dy . dz

ds -^ ds

-/ v^irs''''^'^iG''y^'^'ds'')-

Pour qu'il y ait minimum, il faut donc que Ton ait , , , dx , dr , dz

( 2 ) / ( dx ox -+- dy 0 K -\- dzoz) =^ o.

Les équations (i) donnent

d.r = a ds, dy = b ds, dz ^ c ds,

a, b, c désignant trois constantes, qui se réduisent à deux si l'on prend x pour variable et si Fon écrit ces équations

d.r dv dz a ~ b ~ c '

d'où Ton tire,

en intégrant,

abc

Ces équations sont celles d'une droite, et le plus court chemin cherché est une droite; il reste à déterminer les constantes a, b, c, a, (3, y. Nous allons examiner les divers cas qui peuvent se présenter.

Premier cas. — Les deux points Xq^ Vo^ ^o et j^i, ),, c, sont donnés fixes. Alors oj?,, = <>> ^J'o = o, o^o = o ; ox, = o,