ciiAi'i 1 lu; VIII

^y, =o, o:;, = o, et la formule (i) est satisfaite d'elle-même. Les constantes a, ^, y, a, ^, c se déterminent en exprimant que la droite (3) passe par les points fixes donnés.

Deuxième cas. — Les deux points ^o? ,i'o> ^o '^' -^'i' .'i? '* doivent être situés sur deux surfaces

(4) ?o(-^o, Vu, -o) = o, cp,(.r,, ji, -|) = o.

Alors à la formule (>.), que Ton peut écrire

( 5 ) o^Ti fl^-r, -i- or, <y/, — o:;, f/^i — o.r^ dx^ — oj'o '^(/o — ^-o dzo = o,

il faut adjoindre les équations obtenues en différentiant (4) par rapport aux paramètres a, ce qui donne

àxi àyi dzy

éliminer deux variations entre (5) et (6), égaler à zéro les coefficients des variations restantes ou bien, en employant la méthode des multiplicateurs, poser

rfaro-^ Ao — — =o, «Yjo -i- Ao "i— ~ '5' dzo~ h -— =o, àxo oj'o dzo

d'il V t^'-^i , <^?i

ce qui donne, en éliminant les multiplicateurs Xq et a,,

dxo

dz.

\OxJ dxf

( '^?tt \

dzi

/^tpA /dyi\ /'^'■?'\ \d^,/ V^j-,/ Vd^i/

Ces équations expriment qu'un déplacement elTectué sur la droite qui est le chemin minimum est normal à chacune des

surfaces (4); la droite (3) aura donc ses constantes rt, 6, c, a, [3, V déterminées par cette condition qu'elle devra être normale aux deux surfaces.

Troisième cas. — Les deux points x^^ y^, ^o; x^,y^, 5, sont V un fixe, l'autre assujetti à demeurer sur la surface

Ce cas se traite facilement en supposant oj:, =:: ovi = o^i = o ; la droite cherchée est alors la normale menée x,, ri, ^i à la surface '^o = o.

QuATRiiiME CAS. — Lcs poiuts ^Tq, jKoî ^0 ct X, , j', , Zi sont assujettis à se trouver sur les courbes

( Ço(a"o, Jo. ^o) = o, 9i = o,

à l'équation (2)

dry oxi — dfi o>'i -^ f/:; , 0 j, — ^/j-y o.ro — dj^ Zy^ — dz^, Zz^ = o

il faudra adjoindre celles que l'on obtient en difTérentiant (7), à savoir

-— o.ro ^ . . . = o, — - o.ro — . . . = o,

- — oj7i -^ . . . — O, 037, -^ . . . = O ;

oxi Oxi

en éliminant quatre des variations ox^, oy^, ... et en égalant à zéro les coefficients des variations restantes, on aura les équations déterminant les constantes a, b, c, a., ^i, y. En faisant usage de la méthode des multiplicateurs, on a

c^Ku t^ 0

dzo -f- Ao ), -^ !-«-o ,, OZt) OZo

378 CHAPITRE Mil.

et Irois autres équations obtenues en changeant l'indice 1» en I ; on en déduit

qui exprime que la direction dxo, dy^^ dz-o ou a, 6, c de la droite est normale à la direction de la tangente à la courbe ■^,^ = o,'ln^o; elle est évidemment normale à l'autre courbe. On voit sans peine cominent on traiterait le cas où l'une des extrémités du chemin cherché serait assujettie à demeurer sur une surface et l'autre sur une courbe, etc.

Problème II. — Trouver st/r une sur/ace la ligne la plus courte entre deux points.

L'intégrale à rendre minima est, comme dans la question précédente,

Il = I \/dx- — dy- — dz- ;

mais x^y el z ne sont plus indépendants les uns des autres, et l'on a entre eux une relation

qui est l'équation de la surface : on devra donc remplacer z par sa valeur tirée de (2) avant de faire varier l'intégrale; mais on peut aussi faire d'abord varier l'intégrale, puis tenir compte de la relation (2) en observant que o/*=o, ou que

(5) /,ôj~-^/oO)--r/3o:; ^o,

en posant, pour abréger,/, = -^ , /^ = -y-, /:, rr= y-; on a alors

^ Z"^' dx d ox -^ dy doy -h dz doz '''-I ^ '

en désignant dx- + dy- + dz- par <r/5-, ou

a,, / V— r>x + -'- or -- — ^-^ / \ ds ^ ds " ds ''" /

d.r ^ i dy ^ , j <^f~- ^.

ds ds ds

Pour que ou soit nul, il faut que la quantité placée sous

le signe / soit nulle; car, en vertu de (3), elle se réduira à la

forme Ao^ + Boj- et les coefficients de ùx, oy qui sont arbitraires devront être nuls-, ainsi l'on doit avoir

, <^'" ^ , dr ^ , dz ^

ds ds ds

En combinant cette formule avec (3) et en employant la méthode des multiplicateurs pour éliminer les variations, on a

•^ ds J - ^s ' ./ j ^g

d'où, en prenant s pour variable indépendante,

La courbe cherchée a donc sa normale principale en coïncidence avec la normale à la surface; son plan osculateur est normal à la surface. Les lignes qui jouissent de cette propriété portent le nom de géodésiques : nous les étudierons plus loin.

Si les points j:'„, roi ^o et ^'i, j)'i, ^i sont fixes, on aura rjii = o, en prenant

^^^ / [d^'''-^ds'^-^dl'')=''^

et cette équation sera satisfaite d'elle-même, oxo, ojo: • • • étant tous nuls. Pour résoudre la question, on intégrera les

38o CHAPITRE VIII.

équations (4), puis on déterminera les constantes d'intégration en exprimant que la courbe passe par les points fixes

Si l'un des points Xqi J'o-, ^o était assujetti à se trouver sur une courbe fixe, l'autre étant par exemple fixe, on aurait d'abord

pour l'une des équations de cette courbe, et

o(cco, ru, ^0^ = 0 pour l'autre équation; par suite,

/i oj"o ^A V'o -^/î oso =- o,

(Ui rjXo -T- ©2 ^yo -+- ? 3 0^0 ~ O,

et (5) donnerait

clxooxo -f- c^KoOio -t- '"/-u^-û = o.

d'où

dif,o) d(f,'.) d(f,o)

dxo TT '- "Yo -. i- «-^0 -r, : = "î

^(j'o, -5o) d(z^,x„) 0{Xo. y^)

ce qui exprime que la géodésique est normale à la courbe /= o, o ^ o.

La recherche du maximum ou du minimum de l'intégrale

f 'lw/.r,

dans laquelle F désigne une fonction de x^ y^ z, . . , conduit à Tinlégralion des équations différentielles

Y — — -t- -— — dx ' dx-

, dV d^V

dx dx-

parfois fort difficiles à intégrer. (Y, Y', . . . , Z, Z', ... ont toujours les mêmes significations que plus haut : Y = — .••• j

Supposons que la fonction F ne contienne qu'une fonction inconnue j' : c'est ce qui arrivera toutes les fois que l'on aura ix rechercher une propriété de maximum relative à une courbe plane. Si la fonction y n'entre dans F que par ses dérivées, l'équation différentielle à intégrer sera

d\" cP-Y" ^'^ ^-^^-^••• = °'

et l'on aura immédiatement une intégrale première

,,, dY"

Y ; ;-...= const.

ax

Il se présente une simplification analogue quand F ne contient pas la variable x; en effet, on a alors

dF ^Y dy-^Y'dy'^...

ou

d¥={Yy^Y'y"-^...)dx-

éliminant alors Y entre cette équation et l'équation à intégrer

dx dx'^ ' ' ' ' on a, en supposant Y'"= o, \" =^ o, . . . ,

'«' = (vy - S' j ■) •'- - i^-r - ^'y ) ''-

Celte équation peut s'écrire

dY = d(Y'y)^d(Y"y"-'^y^

et s'intègre immédiatement. L'équation du problème est donc

simplement

F = Y' y -- Y" y" — —r— y -\- const.

Quand ni y ni a; n'entrent dans F non plus que les dérivées

382 CHAPITRE Vm.

d'ordre supérieur à 2, les simplifications dont nous venons de parler se présentent à la fois ; d'abord, y n'entrant pas dans l'équation à intégrer, celle-ci se réduit à

(££ d^ \" dx dx-

d'oii l'on tire, en appelant a une constante,

dx

comme l'on a en outre

d^={\'y^\"f')dx, l'élimination de Y' donne

d^ = {x"f^^fyx^ady'

ou

<^F = d{\"y") -\- ady',

équation immédiatement intégrable. Faisons une application de ces principes :

Problème. — Trouver une courbe plane qui, passant par deux points fixes, soit telle que l'aire comprise entre la courbe, sa développée et ses rayons de courbure extrêmes soit un minimum.

En appelant x,y les coordonnées d'un point quelconque de la courbe 0:0,^0 6t ^),JK) les coordonnées de ses extré- \ mités, l'intégrale à rendre minima est

Y = ^l±2^, Y=o, X=o, Y"= -(n-r'2r.4 L'équation différentielle de la courbe cherchée est d —;— =d^-{i 4- j'î ) — j"J -^ady

OU

-f — —av-^b.

b désignant une nouvelle constante; ce que l'on peut écrire, en appelant R le rayon de courbure, s l'arc de la courbe

cherchée,

ds dv

dx dx

dy , , dx ds ds

Posant

= cos'-s, -^ = sinu, ds • ds

on a

dx dy