V. — Des équations homogènes

Lorsque P et Q sont des fonctions homogènes de même

degré,

P c?J7 -T- Q dy = o

est une équation homogène. Nous donnerons deux métliodes pour intégrer cette équation :

i" On peut poser -= z, d'où

y = zx, dy ^= z dx -\- x dz\ on a alors

(^ -^ Clz) dx -^ Çlx dz = o;

or P et Q sont à un même facteur près, que l'on peut supprimer, des fonctions de :; ; dans cette équation, les variables sont alors séparées et l'on a

dx O dz

d'où l'on tire

ou

r ad:

L'intégrale est de la forme x =z cF[z) ou x =^ cF r-j- x ely étant les coordonnées d'une courbe, - est la tangente de

56 ciiAPirni: ii.

l'angle polaire 0; on peut donc écrire, en appelant /• le rayon

vccleur,

.T=c<l((i) OU r = c ~ — y-; ^ cosO

les courbes correspondant aux diverses valeurs de c sont donc honiotliétlques. Ainsi les équations homogènes représentent des familles de courbes honiothétiques.

2" On peut observer que le facteur d'intégrabilité est, comme on l'a vu § lll (Px -i- Qjk)~' : vérifions-le, on a

dx

[Px-^

Qj)-i

dx

dx

{Px^ilyY^

{Px ^dP

' dy