XII. — Maximum et minimum relatifs

On a souvent à rendre une intégrale définie maxima ou minima, pendant qu'une ou plusieurs autres intégrales sont assujetties à conserver des valeurs constantes. Ces questions, qui sont dites questions de maximum ou de minimum relatif, se résolvent toujours d'après les mêmes principes.

Supposons qu'il s'agisse de rendre maxima l'intégrale

u ^= I F djT,

sachant que les intégrales

V = f V dx, w =^ f Q dx

sont assujetties à conserver des valeurs constantes.

Si l'on cherchait à résoudre ce problème par les méthodes ordinaires, on écrirait

o« = o, 01^ = o, ow = o;

mais ces équations sont incompatibles si l'on suppose que //, V, «', ... ne dépendent que d'un seul paramètre a. Aussi maginerons-nous, pour les besoins de la circonstance, que x,

VARIATIONS DES INTÉGRALES SlMl'LES. 385

jK, ^, . - ., dépendent non seulement de ^, mais de plusieurs autres paramètres a, a', a". . . . , en nombre égal au nombre des conditions données; oU sera alors la différentielle totale

de la fonction U relative aux variables a, a', a" la variable

t restant constante.

On pourra alors trouver le maximum ou le minimum de u

en écrivant

ou — o, Of = o, ow = o.

L'application de la méthode des multiplicateurs à ces équations conduit, comme l'on sait, à rendre maxima l'expression

u -r- ÀV -7- [XW,

oij )v, {JL sont des quantités constantes que l'on détermine en écrivant que les intégrales v et w ont des valeurs données. Nous allons faire une application de cette règle au problème des isopérimètres.

Problème. — De toutes les courbes fermées, à contour simple, de même longueur, quelle est celle qui comprend la surface maxima.

Si l'on prend des coordonnées polaires r, 0 et si l'on appelle / la longueur des courbes considérées, il faudra rendre

u= f r'- dh maximum, sachant que

On rendra d'abord

' ( r"- du -+- A ^dr^ -r- r^ dr- )

maximum, en égalant à o la variation de cette intégrale; ou aura alors

/•^"Z „, , ,.„ . dr 0 dr -^ ri d(\ 0 dd -h df>^ r ùr\

X \ ^dr-^-^r^dQ* J

dr 0 dr -+- r^ dO o dd -{- rfO» r or \ \/dr-^ -f- ri db*

Traité d'Analyse, V. a5

386 CIIAIMÏKE VIII.

et, en intégrant par parties,

o = / 2 /- rtO — Â rf H — 0/-

— [irdr-f- Ad , ) oO

V s/dr^-hr'-dHy J

égalons à zéro les coefficients de or et oO, nous aurons

2 r aO — A a — -^ / /- — ,- =0, 2 r ar -r- A a — 7 = o, ds ds ds

s désignant l'arc de courbe \Ulr- -+- r'-d^'-. La seconde équation donne

o ^ r'-dO /■2 + X — -— = «2, ds

a désignant une constante : on en conclut

ou

on en tire

{a'' — r'^)dr (a^~r-^)dr

rV/X2r2 — (a2/'2)2 ^y/(X2^- 4 a2)r2 — (a2+ r2)=î ce que l'on peut écrire en posant X'- = ).- -4- /\a'-,

a- — /•- , dr

or la denveede — r estegalea — ; donc, en intégrant,

on a

0 — Oo = arccos — ^ >

d'où Ton tire

r2 -+- Vr cos(0 — Oo) — «2 — o.

C'est l'équation d'un cercle, ainsi que l'on peut s'en assurer en revenant aux coordonnées rectilignes; )>' se détermine en écrivant que la longueur de la circonférence est égale à /. Il reste deux, constantes arbitraires dans la solution et cela doit être, car tous les cercles égaux satisfont à la question et contiennent dans leur expression deux paramètres arbitraires. La même équation difTérentielle et la même méthode conduiraient à Ja démonstration de ce théorème :

De toutes les figures de même aire le cercle a le plus petit contour.

XIII. - Cas où il existe une relation différentielle entre les fonctions qui entrent sous le signe /.

Je suppose qu'il s'agisse de rendre l'intégrale

¥ dx

maxima ou minima, sachant que, entre les fonctions inconnues j>', ;:,... dont elle dépend, il existe une ou plusieurs relations différentielles ou finies

on ramènera ce cas à celui que l'on a étudié au paragraphe précédent, en observant que les formules précédentes sont équivalentes à

/ 9J dx =0, / 11'- dx = o,

Faisons une application de ces principes au calcul du maximum de

u:-j ¥{x,y, z; dx, dy, ... 1.

sachant que

388 CHAPITUK VIII.

On aura à chercher le maximum de

on posera alors

(I) J'ioF^^l/o/) = o.

Soit

la valeur que prendrait la quantité placée sous le signe /

si Ton voulait calculer ou. La quantité placée sous le signe / dans (i) sera

et l'on devra égaler à zéro les coefficients ox, oy, oz^ ce qui donnera

et les conditions du maximum s'obtiennent en éliminant A ou a).y.

On peut modifier un peu la méthode précédente. Les équations Ci z=^ o, Q' = o peuvent être remplacées par

/ 02 1>2 (/.!■ = o. / 0'2 12'2 dû: = o,

0 et 0' désignant des fonctions arbitraires : on est alors conduit à chercher le maximum ou le minimum de

A F -H À02 «»•■: H- X' 0'2 o'^ ) dx

et à déterminer A et a' de telle sorte que / 0-O-(/^ct / O'-iî'-fAr

VARIATIONS DES INTÉf.RALES SIMPLES. 889

soient nuls. Or, si Ion pose )>f|'-Q=a, A'f)'-Q'- ^ ;j.', cela revient à rendre

inaximiuu ou minimum et à disposer de 'x et [j.' de telle sorte que Q = o, Q' = o ; mais on pourra traiter jx et ij.' comme des constantes par rapport à la caractéristique o, car les coefficients de ou et oij.', quand on fera varier l'intégrale précédente, seront ù et Q' nuls par hypothèse.

C'est ici l'occasion de signaler une erreur que l'on pourrait être tenté de commettre dans la recherche des courhes qui satisfont à certaines conditions de maximum. On ne peut |)as prendre l'arc pour variable d'intégration, et cela parce

, dx dv 1 . . • I • ^• ■ I

que les -y- et -^ ne sont pas arbitraires, mais bien lies par la

relation

dx^ dy^- ds' ds-

qui impose à -r- et à -^ la condition de rester moindres que l'unité. C'est ainsi que / y ds n'a pas de minimum en luimême, mais en acquiert un en supposant que s satisfasse à la relation qui précède. Pour trouver le minimum de j yds,

c'est-à-dire la courbe qui, par sa révolution autour de l'axe des 37, fournit la surface d'aire minima, il faut chercher le minimum de

d.r^- -T- dy^- — ds^- V.

yds-^l

ds

la variation de cette intégrale est

f[^ , ^ , ^ dxodx -h dyodY — ds8ds J \oyds^yods-2.l ^- •

( dx^ -4- dy- — ds'i )ods\

ds-^

Sgo ciiAi'iTUE vin.

ou

f , •. [ dx ^ cly ^ ^ \ . / dx"- dv- , ^ 1

rv^ ^ ^ \dx , idv

-+- I \oyds — dy os — vt ox d —^ loy d — j—

f^'kdx'- Idy'-X^-}

-^v^^i^--'^-di^r\-

En égalant à zéro les coefficients de ox, o)', os, on a

, X dx , ,^ dy

d — , - = o, ds — 1 d — r— >

ds ds

1 dx"- l dv^

Laissons de côté la dernière équation, qui est la plus compliquée; les deux premières donnent

X dx a , -. dy

— ,— = -, b -\- s = ik —-, ds 1 ds

b et a désignant des constantes. A ces équations on doit joindre la suivante :

les deux premières, élevées au carré, donnent, en tenant compte de celle-ci,

al (h->- s Y-

d'où

il en résulte, par l'élimination de ).,

on en tire

X = «log[6 — srz v/«^-^-(6 -1-*)*]-^- const.,

y — \/a--\-{b -f- 5)2 -4- const.:

éliminant .9 ou 6 -r- 5, on a

:r = a lo": — — — const.

ou, en négligeant les constantes,

- {y — \ly- — a-) = e",

-{y — \/y- — (i-) = e ", donc

La courbe cherchée est donc une chaînette. Si nous supposons les points limites fixes, oy et 0.2; sont nuls aux limites ; quant aux coefficients de oSi et o^o, on peut observer que, sous le signe de substitution, le coefficient de os a pour différentielle l'une des quantités qu'il a fallu égaler à zéro; ce coefficient est donc constant [équation(6)]; on a donc

k désignant une constante.