PQ

{Px

- ^yf

il en résulte

dx Px-\-(^y dy Pa^-f-Q^

\ dx -^ dy) ^\ dx -^ dy ) /»PQ — /»QP - {Px^(lyf '~~"- (P^-^Qjr- -'''

m désignant le degré de l'homogénéité de P et de Q : ainsi Vx H- Qj' = o est en général une solution singulière.

Applicatio:v. — Traîner une courbe dans laquelle le rayon vecteur est moyenne proportionnelle entre la sousnormale et l'ordonnée.

L'équation du problème est

<iy

{x^ -\-y^)dx — j- dy = o;

ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. 5y

le facteur est

En l'égalant à x, on a la solution singulière

elle représente trois droites. Posons -^ = :■ ouj^= zx : nous

aurons

(x^ -+- z-x- ) dx — .r-z-(z dx -i^ x dz) = o

( I -H z'-)dx — z-( z dx -h X dz } = 0,

c'est-à-dire

dr z- dz

on en tire

loga; = A log{z — a) -4- B log(.3 — Jj) -4- G log(5 — 7)-i- const.,

A, B, C désijïnant r— > — - — ni — -rr- et a, 3, Y les racines

de I 4- ■^- — :; ' = o et, par suite,

K désignant une constante.

Les équations de la forme

dy ^ p/ ax-i-by -^-c \ dx \a' X -T- b'y -\- c' /

où a, 6, . . . sont des constantes, s'intègrent comme il suit o n pose

d'où

ax -T- by -^ c = ;, a X ^ b' y -{- c' = r, ;

ab — bà

air^ — c' ) — a'i ; — c

ab — ba

dy bdc,-b'd\ dx a dr, — a de, '

58 c n .4 p 1 r k e ii

l'équation proposée devient alors

6 rfï) — b'd\

a dr^ — a </;

Cette équation en ç et r^ est homogène : elle poui-a donc s'intégrer par les méthodes précédentes, quand on aura chassé les dénominateurs.

Toutefois, pour que la méthode que nous venons d'indiquer réussisse, il faut que l'on n'ait pas ah' — ba' ^^ o. Mais, dans ce cas, on peut poser

a ^= pa' , b = pb' .

et l'équation à intégrer est réellement de la forme

^Z =y(p ^'^ — ^y — ^' ^ c—pc' \ dx \ àx^b'y-x-c' a' x -r- b' y -^ c )

-=f(ax-by),

alors, en posant a' x -H b'v = z, ou

z — a' T dy I d^ a'

•^ ^ b' ' dx ~ b' dx b' '

l'équation à intégrer devient

b' dx ''^ ' b'

dx.

équation dans laquelle les variables sont séparées. Remarque. — Une équation de la forme F(r, r, dx, dy) = o, d'où Ion peut tirer, même théoriquement, -j- sous la forme

ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. Sg

d'une fonction homogène de degré zéro en x et ^, doit être considérée comme une équation homogène et s'intégrera en prenant — ^ z comme fonction inconnue à la place de j'.

On appelle équation linéaire du premier ordre toute équation de la forme

du premier degré en )' et en -%-» dans laquelle Pet Q désignent des fonctions de la variable x. Pour l'intégrer, on pose

dv dv du

(2) Y = uv, -7- = « -^ — ^ '^ -r ;

elle devient alors

dv du ^

u —, v — r- P uv = Q.

dx dx

Profitant alors de rindéterminatiou de a et t", on choisira f, de telle sorte que l'on ait

ce qui réduit l'équation précédente à

de (3) on tire successivement dv

— — P dx, log i> = — / P dx,

— p-S^dx

et de (/)) on lire

^ Q dx V

6o <: H A !• I T 11 E II.

l'oil.ml ces valeurs dans (2), on a

j^e-ZP'/»- rqeJ'i''"dx;

en écrivant P(^) au lieu tlo P et Q(^) au lieu de (}, on peut donner à cette solution la forme suivante

y = e-/P( n rf.r C Q ( 5 ) e/l'(.-) <lz ^ -

(5) 7= f qiz)e^*''''''--->'^'^-'-^''-^ch.

Xq est alors la constante arbitraire d'intégration; quant aux constantes contenues dans les intégrales

J\\z)dz et J\\x)dx,

elles se détruisent. On peut d'ailleurs écrire la formule (5) ainsi

p.r I l'(tJ.irf!J.

On peut encore intégrer l'écjuation linéaire au moyen d'un facteur; en efifet, cette équation peut s'écrire

dj- -h ( l'y — q)dx = o.

Soit a un facteur d'intéiirabilité : on devra avoir

or on satisfait à cette équation en j^renant <x fonction de x seul, car elle se réduit alors à

-!- = ijiF ou a -, = <xr ax dx

ou a

^ = rdx,

ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. 6l

d'où l'on lire

log;i.= I P dx et ;i. = gJ'' '' '■.

e-'^''^ étant un facteur d'intégrabilité,

fW^'''dy-^{Vy - Q)e-'"P'''"c/,r] = const.

est l'intégrale cherchée; cette intégrale peut se mettre sous la forme

jgSPci.r ^ /^QeJP'/'-f/r — consl.

r = e-Svd.r(^ fqeJ'^''' dx + const. V

ainsi qu'on l'a trouvé tout à l'heure. Cette méthode est peut-être plus naturelle que la précédente.