VII. — Équation de Bernoulli
L'équation suivante, dite de BenioulU, se ramène à une équation linéaire.
En divisant par j^", f»n a posant alors
dv „ ''-"dx'-'^y~"^' = '^'
u vient
ce qui est l'équation linéaire.
ExE.MPLK. — Trouver une couihe dont le rayon vecteur
6a CHAPITRE II.
soil moyenne proportionnelle entre l'abscisse et la sousnormale.
L'équation du problème est
(ly ,
ou
-|- = - -!- ^ ou -y = -:
dx y X dx X y
c'est une équation de Bernoulli ; elle peut s'écrire
dv r
.rT73-"r=-^
dx X
et, posant ^^— = v, on a
dz 9. :;
dx X
doù
= e «^ -^ / J7e '' ■* dx
lo?— ï
et
VIII. — Sur une équation plus générale que celle de Bernoulli et son application à la théorie des développées.
L'équation
OÙ P, Q, R sont dos fonctions de x seul, s'intègre quand on en connaît une solution j', ; en efifet, alors on a
retranchons (2) de (i) et posons j- — j^, ^ ^, nous aurons (3) £+(P-2QjO^--Q^^ = o,
ce qui est une équation de Bernoulli, réductible à la forme linéaire, en prenant pour fonction inconnue -j et l'on a
On rencontre l'équation que nous venons d'intégrer dans diverses circonstances et, en particulier, quand on cherche les développées des courbes gauches. Soient
(4) x = az~0L, y — bz-h^
les équations de la tangente à une courbe gauche : un plan tangent pourra être représenté par
(5) (x — az — oL)-i-l{y ~ bz — '^j )~ o.
Ce plan en se déplaçant engendre une développable dont la génératrice aura pour équations (5) et sa différentielle
(6) — z da — doi -h dl{y — bz — fj)—l{zdb-\-d^) = o;
les équations d'une parallèle à cette génératrice sont
d\ da -H 6 <^À -t- ). db a d\ — X da — X- db
Si nous exprimons que la génératrice (5), (6) est normale à la tangente, l'arête de rebroussement de la surface enveloppée par le plan (6) sera une développée, et nous aurons
rt( a d\ — X da — l'^db)-^b{da — b dl -+- X db) 4- dk = o ou bien
( 7 ) dlia"^ -i- b"^ -h i) -T- l{b db — a da) — l^adb = — bda; c'est une équation du genre de celles que nous avons appris
à intégrer. On en connaît toujours une solution : en efifet, considérons le plan tangent
exprimons qu'il est perprndiculaire à sa propre direction: nous aurons
(8) i-hV--i-{a-^bly- = o.
Il est facile de voir qu'il est aussi perpendiculaire à sa direction infiniment voisine; en efTet, quand on a
on a encore
A(\—d\)^B{B-r- clB )—C(C-^dC) = o,
car cette formule se réduit à A r/A -\- B c/B -t- C c/C = o.
Ainsi, en déterminant À au moyen de l'équation (8), le plan tangent à la courbe considérée enveloppera une développable dont la génératrice sera contenue dans deux plans normaux au plan enveloppant ; elle sera donc normale au plan enveloppant, c'est-à-dire normale à elle-même et aussi à la courbe proposée; Tarète de rebroussement de la développable considérée sera donc une développée, et ). tiré de (H) sera une solution de (-).
On tire de (8)
^ — oh ± y/i -t- a- -t- fy- \J — I i^^6^ '
61 l'on pose alors dans (^)
— ab zh v^ — I \Ui- -- h- — i i
on obtiendra une équation linéaire pour déterminer y, et le problème se résoudra parles quadratures, comme on le savait d'ailleurs (T. II, p. 38i et suivantes).
Cette solution a été donnée par M. O. Bonnet.
Nous rencontrerons une autre application importante de la théorie que nous venons d'exposer dans la reclierche des lignes asjmptotiques des surfaces gauches.
