IX. — Des équations que l'on intègre en les différentiant

Un grand nombre d'équations s'intègrent en les différentiant; nous allons les passer successivement en revue : 1° L'équation

dans laquelle jk' désigne la dérivée -j~, devient, en la différentiant,

ou, en multipliant par jk',

En intégrant, on a

(2) y = J /'{/)/ dy-+- consl.;

l'élimination de y' entre cette équation et (i) donne j^ en fonction de j:; on peut donc dire que l'ensemble des équations (i) et (?-) représente l'intégrale générale de (i). 2° L'équation

s'intègre d'une manière analogue. En la différentiant, on a

df =f'{y')dy' ou

y'cix=f'{y)dy,

d'où l'on tire

66 CUAPITREII.

Cl, en inlégranl,

X = j ■^ y dy -r- const.;

l'élimination de r' entre (3) et (4) donne une relation entre x el^' contenant une constante : c'est l'intégrale générale de(3). Appliquons ces considérations à quelques exemples : i" Trouver une courbe dont la normale soit constante et égale à a.

L'équation du problème est

(A) Jv/i-^j'- = «

ou

en difTérentiant, on a

dy = —

ou, remplaçant dy par j' Vu:,

dx = — ady{\-^y'^) -

et, en intégrant,

c désignant une constante. L'élimination de y' entre celle équation et la proposée donne

C'est la solution générale : en éliniinanl c entre celle équation et sa dérivée par rapport à c

on a une solution singulière

•) = di a.

La solution générale représente un cercle ayant pour ravon

a et son centre placé sur Taxe des^; la solution singulière (p. i\) se compose des deux droites qui constituent l'enveloppe de ces cercles.

Il est clair que le problème que nous venons de traiter aurait pu se résoudre en tirant^)-' de l'équation (A), ce qui aurait donné

v/a2— j-2 ce qui donne sur-le-champ

2" Intégrer l'équation

(B) x = ey-^y.

En difierenliant, on a

dr = ey' dy — dy'

et, en multipliant par j'',

dy ■=y'(ey-^\)dy\ par suite

(C) }' = I y'{ey' '^i)dy' — con='[.

L'élimination de j^' entre (C) et (B) donnerait l'intégrale de (B); mais on peut se dispenser de faire cette élimination, et dire que (B) et(C) prises simultanément représentent l'intégrale de l'équation (B).

Lorsqu'une équation difTérentielle du premier ordre ne contient pas l'une des variables x, y, bien qu'on ne puisse

pas la résoudre par rapport à r'= -■-, il peut arriver qu'on

puisse l'intégrer, soit en termes finis, soit au moven de fonc-

lions elliptiques; si, par exemple, j' n'entre pas dans Téquation, on peut la supposer mise sous la forme

7'=?(-r), d'où l'on lire

= Ço{x)dx.

Si alors x et 'j(x) ou v'' sont calculables en fonction d'un même paramètre, soit rationnellement, soit en faisant intervenir rationnellement un radical carré recouvrant un polynôme du quatrième degré, K sera exprimable en termes finis, ou au movcn des fonctions elliptiques. C est ce qui arrivera si l'équation donnée représente une courbe de genre zéro ou un, en y considérant x comme une abscisse et y' comme une ordonnée.

Le cas où cette courbe est de genre zéro ne présente pas de difficulté : supposons-la de genre un, on exprimera x eiy en fonction rationnelle d'un paramètre t et d'un radical , tel que y/A -i-Bi + C/-H-D^^-!-E^',et par une transformation convenable on ramènera ce radical à la forme ^(i — W")(ï — k'-ii-); X eVy' seront alors fonctions rationnelles de u et de ce radical. On fera alors u^=^sn'o^e\. x, ainsi quc^^', deviendront fonctions rationnelles de sncs, cno, dn,i; l'expression ^<:/x se ramènera

à la forme

F(sn o,cii 'i, (In '^)cH,

F désignant une fonction rationnelle, et pourra être intégrée par les procédés connus; x et y seront alors exprimés au moyen du paramètre 'i, et il n'entrera, si l'on veut, dans leur expression, que la transcendante 6 et des logaritbmes.

Si la courbe représentée par l'équation qui lie x à y' était de genre deux, on pourrait encore exprimer x el y' et par suite X ely au moyen d'un même paramètre, explicitement, au moyen des fonctions hyperelliptiques; mais, si le genre d(* la courbe en question était supérieur à deux, il ne faudrait plus songer à obtenir un résultat e^licitc.

Par exemple, une équation du troisième degré en x cl y'

ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. 6g

OU en r et )'' s'intégrera toujours au moyen des fonctions elliptiques; une équation du quatrième degré également lorsque x et r' n'y entreront ni l'un ni l'autre au degré zéro ou un, etc.