X. - Équation de Clairaut

L'équation

dans laquelle y(j^') est une fonction quelconque delà dérivée

y' =z~, est connue sous le nom d'équation de Clairaut; on

peut considérer cette équation comme celle de la tangente à une certaine courbe C, exprimée au moyen de son coefficient angulaire y' . On prévoit alors que, la courbe en question devant être l'enveloppe de ses tangentes, son équation s'obtiendra en éliminant jj'' entre l'équation (i) et sa dérivée prise par rapport à r'. Le résultat que l'on obtient ainsi est évidemment une solution de l'équation (i), mais on voit moins bien quelle doit être la solution la plus générale : cette solution générale s'obtient en remplaçant y' par une constante arbitraire dans l'équation (i) elle-même. C'est ce que nous allons trouver par un calcul direct.

Pour intégrer l'équation (i), différentions-la; nous aurons

dv r,, ,.dy' ou bien

équation ([ui se décompose en

x-^f\y') = o cl -y =o ou y' — con?,[..— a.

On obtiendra la solution de (i), en éliminant j entre l'une de ces équations et (i), ce qui donne les deux solutions suivantes : i"

y = ax -^ fia),

et 2" la résultante des équations

La première solution est l'intégrale générale de (i) : c'est l'équation d'une tangente à la courbe C; la seconde solution est singulière, elle peut être représentée par les équations

et sous cette l'orme on voit qu'elle représente l'enveloppe de la droite j- := ax -\-/{a)^ c'est-à-dire la courbe elle-même.

Ainsi l'intégrale de l'équation de Clairaut s'obtient en remplaçant la dérivée de la fonction inconnue par une constante, et la solution singulière en éliminant la constante entre l'intégrale générale et sa dérivée relative à la constante.

Le problème qui a pour but de trouver une courbe connaissant sa podaire dépend d'une équation de Clairaut.

Pour trouver la podaire d'une courbe, en prenant l'origine

pour pôle, désignons par Jc,y les coordonnées d'un point

quelconque de cette courbe : l'équation de la tangente en ce

point sera

la perpendiculaire menée par l'origine aura pour équation

L'élimination de x,j- cIjk' entre ces deux équations et celle de la courbe et de sa dérivée donnerait la podaire; mais, en supposant la podaire connue, l'élimination des coordonnées X, Y entre les équations précédentes et celle de la podaire donne l'équation diflférentielle de la courbe ; soit F(X, Y) ^ o l'équation de la podaire; celle de la courbe sera donc

Cette équation résolue par rapport àj' — y'-^^ donne un résultat de la forme

c'est-à-dire une équation de Clairaut.

La courbe cherchée est représentée par la solution singulière de cette équation; l'intégrale générale de cette équation représente l'ensemble des tangentes à la courbe cherchée.

Proposons-nous, par exemple, de tromper la courbe dont la podaire est une ligne droite

L'équation différentielle de la courbe cherchée s'obtiendra en éliminant X entre les équations

c— r =/(X— jt),

X + cy' = o,

ce qui donne

c'est une équation de Clairaut. L'intégrale générale s'obtient en remplaçant jk' par une constante m, ce qui donne

l'intégrale singulière, qui est ici la solution intéressante, s'obtient en éliminant m entre cette équation et sa dérivée relative à m ;

o = .r -7- icm, ce qui donne

•^ -ic ' \ .4c-

Ainsi la courbe qui a pour podaire une droite est une parabole, résultat connu.

La recherche d'une courbe parallèle à une courbe donnée présente de l'analogie avec ce dernier problème; soit en effet

-^z=y'\ l'équation de la tangente à une courbe en fonction de son coefficient angulaire est

c'est une équation de Clairaut; léqualion d'une parallèle à cette tangente située à la distance / de cette tangente est

(i) y=yx-~-^{y')-^ls/\-^y'-^:

cette équation est encore une équation de Clairaut; son intégrale générale est l'équation d'une tangente à la parallèle à la courbe donnée, son intégrale singulière sera l'équation de l'enveloppe de la tangente (i) dans laquelle y' sera regardée comme une constante : cette enveloppe est la courbe parallèle cherchée.

Ainsi, pour trouver l'équation d'une parallèle à une courbe, il suffira de chercher l'enveloppe d'une parallèle à la tangente. L'équation tangentielle de la parallèle s'obtient facilement en éliminant j'' entre les équations suivantes, qui font connaître les coordonnées tangentielles \, r, d'une tangente quelconque :