X-Xo=0v|jl2(T-?o)2, X2 X = 0v !^(T-^o
X/^ — X/'-i = Ov -^— i T — ^0 Y
et, en ajoutant,
riP-
Dans cette formule, la lettre H désigne des quantités différentes, mais toutes compi'ises entre — i et -f- 1 et bien déterminées ; la quantité écrite entre parenthèses est, pour p =i yz, une série convergente et, par suite, X'' a une limite pour/» = gc, ou, si l'on veut, X, Y, Z, . . . ont des limites bien déterminées pour /z=oc. (Cauchy démontre que cette limite reste la même quelle que soit la manière dont on fait croître le nombre /i, mais ceci est inutile pour le but que nous nous proposons.)
Supposons donc n --=--yi et calculons les dérivées des fonctions X, Y. . . . , données par les formules (b). On a
,t-!-At AX =
= f ?(;, ^, •••, t)dt-
la quantité placée sous le signe / diffère infiniment peu de
'j(X, Y. .... T ) ; on peut donc poser, en appelant s un infiniment petit,
AX = AT['f(X, Y. ..., T)-^£l
et
AT
^ = c; r X Y TV
8 CIIAPITRF I.
quel que soit n ; donc, pour n = x el AT = o,
donc :
i" Les quantités X, Y, .... calculées comme il vient d'être expliqué, satisfont aux équations difTérenlielles (o).
2" Pour T = tn, il est évident qu'elles se réduisent à Xq, yo, Zfi, ... respectivement : notre théorème est donc démontré.
Le théorème précédent établit l'existence d'w/ie solution des équations (o) se réduisant pour t = t^ à ^ = Xo, j'=:jj'o, • . ., mais il n'établit en aucune façon que cette solution est unique : ce point reste donc à éclaircir.
Il n'établit l'existence de la solution qu'autant que dans le domaine Lies fonctions cp, y, '}, ... et leurs dérivées restent finies et continues; donc, si, en se donnant un domaine L, quelque petits que soient h, a, b, c, . . . , les fonctions '^, -/j •|, ... ou leurs dérivées pouvaient y devenir infinies, ou indéterminées, ou discontinues, la solution que nous avons trouvée pourrait disparaître. Je dis pourrait, parce que, dans bien des cas, l'expérience a démontré qu'il existe une solution telle que pour t = t(, on ait a: = x^, y = yo^ • • • ? bien que le domaine L dont nous avons parlé n'existe pas.
La démonstration que nous venons de donner est au fond celle de Cauchj simplifiée dans quelques-unes de ses parties.
