XI. — Équation de Lagrange

L'équation connue sous le nom d'équation de Lagrange est la suivante

c'est, comme l'on voit, une équation du premier degré en:retj' contenant la dérivée >-'= -7^ d'une façon quelconque. En la diflcTcnliant, on a

dy = dxf{y') ^ x/'{y') dy' -^ ¥'{y')dy\

ÉQUATlOxNS DU PREMIER ORDRE. 78

en remplaçant <:/)■ pnv j' dx, elle devient

cette équation, linéaire par rapport à ,r, pourra être intégrée au moven de quadratures et, en éliminant jk' entre son intégrale et (i), on aura l'intégrale générale de l'équation (i).

Plus généralement, supposons qu'une équation différentielle puisse être résolue par rapport à l'une des variables )•. et mise sous la forme

la différentiation donnera

si 1 on peut intégrer cette équation en x et r'. dans laquelle dx et d}' n'entrent que sous forme linéaire, l'élimination de -)-' entre lintégrale générale de cette équation et y = F( j:, y) donnera l'intégrale générale de l'équation proposée.