C II A P I T R E

deux parties égales V angle des rayons vecleurs issus de deux poin ts fixes .

L'équaliondifTérenlielledu problème est, en posant-^ ^^ et en appelant 2C la distance des points fixes,

en différcntiant cette équation par rapport à j", on a ( y. ) y" ( lyy' x — y"- ~ x''- -^ c-\ -^ y'^ x — y y' - -^ xy' — y = o ; en éliminant j- — x- — c- entre (i) et (2), on trouve

y' {y- — 1)3^' -^y"*x — yy"^ -^y'-x — yy — o et, en divisant par i +J''-,

y"xy -+- xy'-^ —yy' = o.

Divisant par xyy\ on a

y y X ou bien

log-»-'— log>' — logjr = logconst. = log^, d'où

XY = lix = — - x:

en éliminant j'' entre cette équation et la proposée, on trouve

en supposant bien entendu c- :=<'/- — h'-, ainsi qu'on devait s'y attendre.

2" Un chien court après son maître d'un mouvement uniforme, le maitre parcourt aussi d'un mouvement uniforme uns ligne droite, la vitesse du chien rencontre constamment le maître, ou, si l'on veut, la tangente à la courbe que décrit le chien rencontre sans cesse le maître, quelle est la courbe décrite par le chien?

Prenons la trajectoire du maître pour axe des y et une perpendiculaire à cette droite pour axe des x.

ÉQUATIONS Dl PREMIEK ORDRE. 70

Au bout du temps t, l'ordonnée du maître pourra être représentée par at^ la tangente à la courbe décrite par le chien est représentée par l'équation

Y-,. = (X-,.)|, et, comme elle passe par le maître, on a

mais, en appelant b la vitesse du chien, on a

ds = b dt ou s ^= bt.

s désignant l'arc du chemin parcouru parle chien; on tire de là /, et, en le portant dans (i), on a

as dy

b ^ dx

Pour intégrer cette équation, il faut d'abord la différenlicr, ce qui donne

dv^\'- d^y

b \ dx- 1 "" dx-

1 • dy ,

ou bien, en posant -j^ ^=. y ^

a, ,,,J dy'

ou

a dx dy'

b X y/, -Jt-y'-i

en intégrant, on a

— |log^-^ loge = log(r'4-v/|^j'0.

c désignant une constante. Nous ferons — .== |j. ; nous aurons

alors

, cx\^ -+- c-^x-V-

Y = —7 rH--^' -, x^-V- -+- const.

j6 CIIAIMTUE II.

La courbe en queslion porle le nom de courbe de poursuite.

En général, quand, dans un problème de Géométrie, l'arc enlre comme donnée, la recherche de celte courbe dépend d'une équation qu'il convient de difiérentier. Voici un exemple :

3° Trouver une courbe clo/it l'arc soit une fonction de l'ordonnée.

En appelant s l'arc, x, y les coordonnées d'un point de la courbe, on a

et, en diflerenliant,