MIT

dx' on en conclut

et

dx = dy /['f'(rjp — 1, lorsque es'- sera de la forme

ay"^ -f- hy -+- c

«, b. c. m, n désignant des constantes, ou

^/ay^ -r- by -T- c

my ^ Il

On pourra obtenir x sous forme finie en fonction àe y] nous examinerons les cas suivants :

2° O = av,

3° Ci = a logj-,

ÉQUATIONS DL l'REMlEK ORDRE. 77

i'^ 'j = a donne x =J' \' — i 4- c : ainsi les courbes dont l'arc est de longueur constante sont les droites isotropes.

2° '^ = ay donne x ^y \Ja'- — i -h const. : ainsi les lignes droites sont les seules lignes dont l'arc soit proportionnel à l'ordonnée.

3° Prenons -o =^ a log)', nous aurons

Nous poserons j)/ =: acosu] nous aurons alors

/ai^'in- u du fada f , = / — / « du cos u cos« J cos« J

ou

4° Prenons -j z= 2a \^j-; nous aurons ou bien

dy

Nous transformerons les coordonnées et nous poserons

a- = 2/-, v=j>'i-r-/-; nous aurons alors

/•,> — .T'i)f/ii

J A-— Jf et, par suite, en changeant ji en)',

X =^ r arc sin =^ — ^ y//--- — y- ~ const.

En posant

y = rsinç, celte formule donne

X = ro ■+- r cos o ;

-8 eu A PI THE II.

on reconnaît les équations de la cycloïde, et mieux, en remplaçant cp par - H- cp, y par /• — )-, et x par - ^ jc,

■ y z= r{i — coso), X = /-('f -t- sincp).