XIII. — Équation de Jacobi

Jacobi a donné le moyen d'intégrer les équations de la forme

Ldx -~- M dy -j- ^ {y dx — x dy ) = o,

où L, M, N désignent des fonctions linéaires de x etj-. Nous généraliserons cette équation, et nous la présenterons sous une forme un peu différente. Nous introduirons une variable z^ afin de rendre les formules homogènes, et nous supposerons cette variable égale à i , après avoir effectué les diff'érentia-

tions indiquées. Nous remplacerons ainsij' et x par =r ^t - ' dy

, , , )- zdv — rdz , zdx — xdz sera remplace par a - ou par — — ^ , dx par —^ ;

de sorte que l'équalion proposée prendra la forme

(I) \^{zdy —ydz) \\(xdz — zdx)-r Siydx — J^dy) = o.

Quand on fait ^ = i , cette équation se réduit à la j)roposée, à cela près que L y est remplacé par — M et M par L. Nous nous occuperons spécialement de l'équation (i) et nous sup- |)Oserons d'abord que L, INI, N sont des fonctions entières homogènes de degré quelconque ni.

Les fonctions L, M, N sont homogènes, et, tout en leur conservant leur homogénéité, on n'altère pas l'écpiation en les remplaçant par L + Ax, M + A>', N 4- Az, A désignant une fonction homogène de degré moins élevé d'une unité que L, M et N.

Pour la commodité du hmgage, nous considérerons .r, )', z^

comme représentant les coordonnées liomogènes d'un point. Nous pouvons écrire Téquation (i)

(Mz — 'Sy)dx-^('Sx —- Lz) dy -r-(Ly ■—yix)dz = 0,

et l'on voit que les points pour lesquels on a

(2) M^ — \^ = o, Nx — L^ = o, Ly — 'S\x = o,

sont des points où les rapports dx '. dy '. dz seront indéterminés : on donne à ces points le nom de points singuliers ; la tangente de la courbe intégrale y est indéterminée.

L, M, N étant entiers et de degré /«, Une saurait y avoir plus dem-\- i points singuliers en ligne droite.

Sans quoi deux des courbes (2) auraient plus de ni--- 1 points en ligne droite, ce qui est absurde, puisqu'elles sont de degrés m -^ i .

Si m -+- I points singuliers sont en ligne droite, i équation de la droite qui les contient est une intégrale de V équation (1).

En effet, prenons cette droite pour axe des x\ en faisant a: = o dans (2), on doit avoir m ~ i solutions ; donc

L^ = 0, Lj' = 0

doivent avoir m 4- i solutions quand on y suppose ^ z= o ; donc L est un polynôme de degré ni possédant ni -f- 1 racines, ce qui est absurde, à moins qu'il ne soit identiquement nul pour jc = o, ce qui exige que L contienne x en facteur; mais alors l'équation (i) est satisfaite pour jc = o : donc l'équation de la droite en question est bien une intégrale de l'équation.

Lorsque les polynômes L, M, N sont du premier degré, et c'est le cas examiné par Jacobi, m -\- \ := 1 et les droites passant par deux des points singuliers sont des solutions.

8o C H A P 1 T II E 1 1 .

Les équations (2), dans le cas où L, M, N sont du premier degré, ont trois solutions finies. Prenons les droites qui joignent les trois points singuliers correspondants pour axes de référence; l'équation (1) devra être satisfaite pour x = o, ce qui exige que L contienne x en facteur; de même M doit contenir y, et N doit contenir z : donc on doit supposer L = ax, M =^ 6 )', N = ce, a^ b^ c désignant des constantes, et l'équation devient

{b — c )yz dx 'T-{c — a)zx dy -^{a — b)xydz =0 ou

dx -\ dy -^ dz = 0.

d'où l'on tire

Xb-cyc-a-a-b — const.

Telle est l'intégrale de l'équation de Jacobi : il faudra, bien entendu, y remplacer x, y, :; par leurs valeurs en fonction des variables primitives.

Encore un mot avant d'abandonner ce sujet.

Pour que y (x, j', ;;)::= o soit une solution de (1), y' désignant une fonction homogène, il faut que l'équalion

-^ dx -+- f- dy ^ -^ dz = o ox dy -^ Oz

fournisse pour les rapports r/]- ; dx '. dz, '- , '- des valeurs

satisfaisant à (i). Mais on peut présenter cette condition sous un autre aspect : on a, en elTct,

Ox dy -^ dz

d'où l'on tire

dx ' ^^'^^ - ^'^r ) = [i- -i^dx ~ xdy) = ^ : <^xdy -y dx).

If Si l'on remplace alors ydz — zdy. . . . j)ar -7-. • • dans (i),

on a

(4) L^-^Mf + Nf = 0;

dx dy dz

ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. 8l

et cette équation a lieu quand (i) elf= o ont lieu en même temps; si donc/= o est une intégrale de (i), l'équation (4) sera une conséquence de f= o, et, par suite, on aura identiquement

dx dy dz ''

a désignant un polynôme de degré m — i. Réciproquement, si cette formule a lieu identiquement, /"= o sera une intégrale de (i). On pourra donc découvrir des solutions de (i) en remplaçant/par un polynôme à coefficients indéterminés et homogène et a par un polynôme de degré m — i .

Quand on connaît un certain nombre de solutions particulières de V équation (i), on peut en déduire la solution générale.

En effet, si l'on connaissait une solution de l'équation

homogène de degré zéro, en l'égalant à une constante, on aurait l'intégrale générale de (i). En effet, si l'équation (4) et la suivante ont lieu

df df ôf

Ox dy dz

on aura

^:(M^-N7)=^:(N^-Lz) = ^:(Lj^-M:r).

et par suite, en comparant avec (i),

àf , àf . df . p . ^

— fte -4- -r- «K -f- -r- rt-s = o, d ou / = const.

Ox dy -^ ôz ' •'

Cela posé, on a identiquement, en appelant o une fonction L, — Traité d'Analyse, V. 6

82 CIIAIMTRK M.

de II, r, «V, , . . ,

, • , do ..do ..do do/, du du dx dy dz du \ dx dy

--'iî)

dv \ dx dy

Supposons que u, v, . . . soient des solutions particulières de (i), en sorte que

, du -, du -, du , dv ,,

(^:r dy Uz dx

en appelant a, /^, c, ... des exposants convenables et en posant o{ii, ^\ . . .) = u"i>^ . . . , la formule (5) donnera

^ do ^, do ., do . , 1 I . r^

L -T-^ -r- AI -i -i- N -i = au''-^'xuvf>. ..-,- bv'>-Ui<^2>v. . . dx dy dz

= ç(aa -i- 6|i -!- . . . (.

Si donc on peut prendre «a H- />|3 -|- . . . = o, et, en appelant les degrés de u, v, ..., [jl, v, . . . , si l'on peut prendre «UL -h 6v -r . . . = o, la fonction 'j sera homogène de degré zéro et satisfera à l'équation (4); en l'égalant à une constante on aura la solution générale de l'équation (i).