XIV. — Caractéristiques de M. Fouret

Considérons l'équation différcnlielle

ou y z= -J-. Cette équation définit une famille de courbes, el

l'on a|)pelle caractéristiques; de cette famille le nombre itde courbes pouvant passer par un point donné M, et le nombre V de ces courbes qui touclienl une droite donnée.

Nous supposerons l'équation (i) algébrique : alors le degré de celle ('quation par rapport à y' indiquera le nombre u de branches de courbe passant par le point (x,;-). Si l'on suppose y' constant dans la formule (i), cette équation représentera

le lieu des points pour lesquels les courbes de la famille qui constitue l'intégrale générale touchent une droite parallèle à une direction donnée y' .

Si l'on pose j' '^= y' x -\- c, l'équation

fera connaître le nombre v des poinls où la droite j' =y'a; -j- c touche les courbes intégrales : ce nombre est le degré de y par rapport k x el y.

Application. — L'équation générale des coniques passant

par quatre points est, en appelant s et s' deux polynômes du

second degré en x et r,

s -\- es' =^ o.

L'équation différentielle de ces coniques s'obtient en éliminant c entre

ds , ds j / ds , ds' , \

-7— dx -+- -— ay -T- c -— rfj- -h -— rfv- = o

dx t)/ \ (^^ ')y )

et 5 -h C5' = o ; cette équation est donc

\ t as , às\ I lès' f)s' ,\

et le lieu des points de contact de ces coniques avec une droite parallèle ky^=y'x est donné par l'équation précédente ou

i r)s I ds' , / \ ôs F ds'

s dx s dx \s dy s dy

Ce lieu est une courbe du troisième degré qui passe par les intersections des coniques données et par le point de concours des diagonales du quadrilatère inscrit à ces coniques.

11 est facile d'écrire l'équation générale des coniques inscrites dans un quadrilatère : en effet, soient X, Y, Z des fonctions linéaires (premiers membres des équations des dia-

gonalesdu quadrilatère circonscrit); on a, pour l'équation des coniques en question,

En effet, cherchons l'enveloppe de ces coniques : il faut éliminer c entre cette équation et