CX2 — (X2 4- Y2 Z2) = O

ce qui donne l'équation des côtés du quadrilatère :

Cherchons l'équation difTércntielle : il faudra éliminer centre (A) et sa dérivée

et l'on obtiendra une équation du sixième degré lieu des points de contact avec une parallèle à y =y' x.

Mais revenons au cas général; cherchons à résoudre le problème suivant :

Trouver le lieu des points de contact des tangentes issues d\in point M et menées à toutes les courbes de la famille dont V équation différentielle est

Soit

(2) F(.r, JK, c) = o

l'équation intégrale, les points de contact cherchés seront donnés par l'équation

a et 3 désignant les coordonnées de M; or on obtient (i) en éliminant c entre (2) et

( 4 ) -r- dx -\- -— dy = o.

^ dx Oy -^

Le lieu des points de contact cherchés s'obtient en éliminant c enlre (3) et (2); or (3) ne dififère de (4) que parce que y'

j est remplacé par ; donc le lieu cherché a pour équation

Il est, comme l'on voit, de degré jx + v, {x et v désignant les caractéristiques de la famille (i). Si l'on suppose a = o, ^ = o, les termes du degré le moins élevé de la courbe seront d'ordre a et par suite, en M, le lieu aura un point multiple d'ordre ^.

Il résulte de là que :

Pour qu'une courbe transcendante puisse faire partie d'un système aux caractéristiques ('j.^ v), il faut que les points de contact des tangentes menées d'un point M à cette courbe soient situés sur une courbe d'ordre <x + v, ayant un point multiple d'ordre !x en JM.

Cette condition est suffisante.

En effet, si elle est remplie, elle le sera en particulier quand on prendra M à l'infini dans la direction y =j''x; soit

l'équation de la courbe de degré !J. + v qui contient les points de contact des tangentes parallèles à y =y' x. L'équation (5) est une relation entre les coordonnées de la courbe transcendante donnée et le coefficient angulaire y' de sa tangente variable, quand le point M se déplace : c'est donc l'équation diff'érenlielle de cette courbe; elle définit un système aux caractéristiques ([jl, v), car, la courbe (5) ayant un point d'ordre [jl à l'infini, son degré est v en x ely; mais ce qui est curieux, c'est que la courbe transcendante ne peut faire partie que d'un seul système (|j., v).

En elfet, si elle pouvait appartenir à deux systèmes

ïC'^^, 7,yj^«- •^•^,7. 7') = o>

80 CIIAPITKE II.

les ('qualions

représenteraient la même courbe algébrique, quels que soient a et [3, et, en particulier, ':>(x, y, y') ^= o et 'i^(jc, jk> JK') = o devraient, quel que soit^', représenter la même courbe algébrique : ces équations seraient donc identiques.

/exemple. — La courbe r = losa: satisfait à -f- = - ou X ~ — I = o ; ses caractéristiques sont (i , i), et elle ne peut

satisfaire à un autre système de mêmes caractéristiques.

La sinusoïde a pour équation j^'- H-y-== «-; ses caractéristiques sont (2, 2); le lieu des points de contact des tangentes qu'on peut lui mener d'un point (a, ^) appartient à la courbe

c'est une courbe du (piatrième degré.

La théorie des caractéristiques, que nous venons d'exposer, est due à M. Fouret.