XV. — Des trajectoires orthogonales
On appelle trajectoires d'une famille de courbes une seconde famille qui coupe les courbes de la première sous certaines conditions.
Les trajectoires orthogonales d'une famille de courbes sont des courbes coupnnt celles-ci à angle droit. Soit
l'équation d'une famille de courbes, c la constante qui entre dans leur érpiulion. En éliminant c entre cette équation et sa
dérivée relative à x on obtient
-T- dx -T- -T- dy =0:
ôx oy ''
c'est l'équation difTérenlielle à laquelle conviennent toutes les courbes de la famille. Réciproquement, si l'on donne une équation différentielle
( 1 ) P <:/:r -T- Q dy = o,
sa solution étant de la ïorn\c J\x , y , c) = o, elle pourra être considérée comme l'équation d'une famille de courbes. Soit donc proposé de trouver les trajectoires de la famille de courbes représentée par l'équation (i); on en tire
dx " Q^
c'est la valeur du coefficient angulaire de l'une des courbes delà famille passant en x,y\ alors ^ sera le coefficient angulaire de la trajectoire orthogonale passant au même point et
dx P
sera son équation différentielle : il est clair que les trajectoires orthogonales forment une famille qui constitue l'intégrale de cette équation, que l'on peut écrire
P dy — Q dx = o.
Exemples. — i°
représente une famille de coniques homofocales; en différen-
tiant, on a
X dx y dy
88 CIIAPITIIF. II.
en éliminant u entre ces deux équations, on trouve, en désignant par h- la difTérencc entre a- et b-,
c'est l'équation dilTérentieile de la famille en question.
Cette équation ne change pas quand on change -^ en j-;
donc elle appartient aux trajectoires orthogonales : nous l'avons d'ailleurs intégrée jdus haut.
Les courbes représentées par une équation de la forme
(dyy .. dv
en général, sont à elles-mêmes leurs propres trajectoires orthogonales.
2° Les lemniscates ayant pour foyers les points (' — c, o) et (h- c, o) ont pour équation
a désignant une constante; leur équation différentielle s'obtient par simple différentiation : elle est
{x^ -Hj)'^ -\- c-)( X dx —y dr) — 'ic-x dx = o ;
celle des trajectoires s'obtient en changeant -j- en — -^-; elle est donc
(x^ -i-JK--+- c^){x dy — y dx) — 'xc'^x dy = o ou
(i) (x^ -i-y-)(x dy —y dx) — c-{x dy ~-y dx ) = o.
Le premier terme a pour facteur d'inlégrabilité (p. 41)
, — ; r: — rî en le inullipliant par ce facteur, il devient d '-;
son facteur général est donc - — ; — ; /( — ) • L'autre terme
a pour facteur ¥(xy) : on doit donc avoir, pour facteur de l'équation (i),
, , ' . ,f(^ ) = F(xy),
d'où l'on tire
f(j^) = ^'r-p{^rh
ce qui aura lieu quand les deuK membres seront constants.
On peut donc prendre pour facteur , , ■ En appliquant ce
facteur, l'équation (i) devient
dy — y dx c-( X dy — y dx )
ou
['-^(S)"']''(ï)-''-ïè^''(^-'')=<'
et, en intégrant,
\ = const. = K
X y xy
ou
y"^ — 37- — kxy = — c- ,
c'est l'équation d'une série d'hyperboles équilatères passant en y = o, ^ = z= c,
3" Les trajectoires orthogonales d'une famille de droites j)envent toujours s'obtenir par de simples quadratures; du reste, les droites en question enveloppent une certaine courbe; leurs trajectoires orthogonales sont les développantes de cette courbe : nous allons donc avoir à notre disposition une méthode nouvelle pour trouver les développantes des courbes planes.
L'équation des droites en question est une équation de Clairaut : c'est l'équation d'une tangente à une courbe en fonction de son coefficient angulaire ('p. 6gj-, elle est de la forme
y =-yx-^fiy')
()0 CIIAI'ITUK II.
OU
Les trajectoires orthogonales s'obtiendront en remplaçant j'
par -; on aura alors
c'est une de ces équations qui, mise sous la forme
y-^y =Ay')^
coïncide avec l'équation de Lagrange et peut s'intégrer par de simples quadratures.
Les courbes intégrales n'ont pas en général d'enveloppe, mais Tcnveloppe est remplacée par un lieu de rebroussements (jui est la courbe elle-même.
4° Cherchons encore l'équation des trajectoires orthogonales d'une série de paraboles homofocales ayant le même axe
Leur équation difTérentielIe, obtenue en éliminant p entre cette équation et sa dérivée relative à x est
\dx on en tire d'abord jk ^~= o, puis
\di) ~
y^-Tx -■''-yiLc-y-'-'''
dy
Cette équation est telle t[U(; le produit de ses racines est — i ; donc elle est aussi celle des trajectoires orthogonales et il est inutile de l'intégrer; les paraboles en question sont donc à elles-mêmes leurs propres trajectoires.
Si cependant on tenait à intégrer ré([ualion à laquelle on est |)ar\iMiu, on poiniMil pii'ndre pour variables ./" et
ÉQUATIONS Dl PREMIER ORDRE.
/• = ^x- -T-y- ; en effet, l'équation proposée, résolue par rapport a j-j donne
dx
dy X ±1 \J x- -5- V'
y dy = dx{x — r).
dx y
et, le changement de variable effectué, on a
/• dr — X dx = x dx z:= r dx OU
r dr ^ {IX ziz r) dx.
Cette équation (p. 55; est homogène; son intégrale est
r — X = const. ou r — x ^= p,
qui revient à la proposée.
5" Parmi les courbes orthogonales, nous signalerons encore les ovales de Descartes, représentées en coordonnées bipolaires r et /■' par les équations suivantes, où a est une constante donnée et a, |j des constantes arbitraires,
ce que l'on peut vérifier en construisant les normales aux deux courbes par la méthode de Poinsot. Les mêmes équations dans le système pôle-directrice fournissent aussi des courbes orthogonales.
6" La méthode de la transformation par rayons vecteurs réciproques n'ahère pas les angles; elle permet donc, étant données des figures orthogonales, de trouver un autre système également orthogonal.
-" Les transformations liomographiques altèrent en général les angles; on peut toutefois se demander quelles sont les lignes orthogonales qui restent telles après avoir subi une transformation homographique.
Pour répondre à cette question, on peut disposer les figures de manière qu'elles soient homologiques : cela fait, en prenant le centre d'homologie pour origine et l'axe d'Iiomo-
logie parallèle à l'axe des y, on a les formules de ti-ansforma-
tion (p. 59, t. IV)
ar
a cl // désignant des conslanles. Soient 0 et cl deux caractéristiques relatives à deux déplacements orthogonaux : on aura
SX d\ -
oYdY = 0,
0J7 dx -■-
- OJ'
dy — 0.
Or on a
dX =
ah d.r
^^. ahox
{x-hf
K^X — hf'
ady
ay dx
„^, a Zy ay ùx
X — Il {x—h)- X — h (x — hy^
(■i) donne alors
F— 7 H — 1—r \ox dx -i- 7—; oy dy
l{x-h)* {x — h)'*] (x--/iï^ -^ -^
— ( ox dy -!- oy dx )
{X — hy ou, en vertu de (3),
{x — /ifl\dx/ ] dxl{x — hf {x-hy* {x—h)'»} '
ce que l'on peut encore écrire
Si l'on remplace x — h par :c et ^ par y', on a
xy(y'^ — i) ~7'(x2 — j2 /,2 , - o.
Ou reconnaît l'équation d'une série d'ellipses et d'hyperboles homofocales : h est la demi-dislance focale, a: — h = o ou X = h est récjiialion de lotis les grands axes ([). 'j4)'
ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. gS
XVI. — Méthode propre à fournir une infinité de systèmes orthogonaux.
Nous avons vu que, s\f\x +y\/ — i ) = X + Yy/ — i désignait une fonction monogène, c'est-à-dire une fonction ayant
une dérivée unique, on avait
, , d\ ÔY
dY dx
Si l'on fait décrire au point dont les coordonnées sont x eiy un certain chemin, le point X, Y décrit un autre chemin correspondant. Appelons 5 et S ces chemins : on a
/dX . àX . Y (dY . dY .
^ -^ \âx ûy dy dx j
dix. Y)
dS est donc proportionnel à ds. Il résulte de là que, si l'on considère un triangle infinitésimal de côtés ds, ds', ds" , décrit par le point (x, y), à ce triangle correspondra un triangle de côtés <^S, f/S', <:/S", décrit par le point (X, Y); les côtés du second triangle étant proportionnels à ceux du premier, ces deux triangles sont semblables; ils ont donc les angles égaux, et, par suite, à deux courbes ds, ds' décrites par le point {x,y) correspondent deux courbes dS, dS' décrites par le point (X, Y) qui se coupent sous le même angle. Nous allons maintenant étudier les conséquences de ce théorème. Supposons que le point (X, Y) décrive des droites issues de l'origine et des circonférences concentriques à l'origine : l'argument de J'(x) dans le premier cas, son module dans le second cas, resteront tour à tour constants ; les lignes décrites par le point (X, Y) sont orthogonales ; donc les lignes décrites par le point (x, y) seront aussi orthogonales.
(j'i CIIAIMTUK II,
(^iiand le point (X, Y) décrit les cercles en question, on dit que le point {x,y) décrit les courbes d'égal module de la
fonction /(^+yv-""Oî ^uand (X, Y) décrit des droites issues de l'origine, le point {x^y) décrit les courbes d^égal argument de /(.r -\- y sj — i ) : les courbes d'égal module et d'égal argument sont orthogonales.
Clicrclions les courbes d'égal module d'une fonction rationnelle
<7, b, .... a, [3, ... désignant des quantités constantes. Faisons z =^ x -\- y\J — i ; le module de/(:;) est égal à
modCz — ^)mofl( z — h) . . .
mod(^ — a) inocl(^ — ?> • • •
or le module de ;; — a est égal à la distance /•« du point z- au point rt; les courbes d'égal module, c'est-à-dire le lieu des points pour lesquels le module dey(G) sera constant, jouiront donc de la propriété exprimée par l'équation
, , rn ri, ...ri
(2) = const.
r%rf^ . . . r\
L'argument (le/(-c) est égal à
arg( J — a) + ar-(^ — b)-r...— arg(5 — a) - arg(x: — |3 1 — ... ;
or arg(^ — a) est égal à l'angle 8^ que fait la droite allant du point a au point z avec l'axe des x\ les courbes d'égal argument de f{z), c'est-à-dire les lieux des points pour lesquels l'argument de f{z) est constant, ont pour équation
(3) Oa-j-Oi-}-...-rO/—Oa—0;i — ...-Ox= const.;
les courbes définies par les équations (2) et (3) constituent donc un système orthogonal.
Nous allons établir quelques propriétés des courbes qui nous occupent :
1" D'abord leurs tangentes se ronslruironl on ne peut j)lus
facilement j)ar la mélhode de Poinsot et, par suite, les tangentes à leurs trajectoires orthogonales (t. Il, p. 26); leurs rayons de courbure sont fournis par la méthode exposée (t. II, p. 122).
2° Elles présentent parfois des points multiples : ces points multiples sont les points où la dérivée de f{z) s'annule, cl les tangentes au nœud forment les ravons d'un polvgone régulier, résultat que j'ai donné dans ma Thèse.
3° Reprenons l'équation
l'a ri, .../'/ .
il) = const. = A.-.
ro^r^ ... n
Soient rt, et ao les coordonnées du point o, 6, et Oo celles du point 6, etc.; on aura, en appelant x, y les coordonnées d'un point de la courbe,
et, si l'on pose
Cly -r «2 \J I = «, «1 ■ — «2 \J — t = a' .
etc., on pourra écrire (i) ainsi
(z — aMz' — a'Mz — hMz'^h')...
ou, en posant, égale ày''(:;'), la fonction obtenue en changeant, dans f, a, b, . . . , z, ... en a', b'., . . ., z' ....
iNous ferons
en désignant par 'j>, 'L, 'i', -V les fonctions entières qui servent de numérateurs et de dénominateurs à /et /'; (2) s'écrira
alors
oiz) ^'iz') 'h( Z) ~ " o'{z')
y6 CHAPITKi: II.
OU, en appelant o et oj' deux constantes,
O(z) — t0'il(z) /C- •y { Z' ) — Ui 'Si' ( z' ) o{Z) -r-(}j'^{Z) A-2 Cfi'iz' ) -r- at'o'{z' )
c'est-à-dire
\o(z^-^<^i>(z)][k^'yiz')-oi'o'(z')] ^ ' [o(^,)-^(o'i(x;)J[A-24/'(^')-.-wtp'(^')J ~^-
Cette équation est de même forme que (2), mais les points fixes ne sont plus les mêmes; ce sont les racines d'équations nouvelles difl'érentes de cp = o, cp' = o, 'l = 0, -V := o ; mais les nouveaux pôles ne seront pas les mêmes pour toute la série de courbes à laquelle appartenait la courbe définie par l'équation (i) pour une valeur donnée de k. Donc :
Une fonction rationnelle étant donnée, ses courbes d'ég'al module pourront être les courbes d'égal module de bien d'autres fonctions rationnelles. Cette remarque est de M. Darboux.
4" L un des nouveaux pôles pourra cire choisi arbitrairement; en elfet, on peut choisir co et w' de manière que le premier membre de (3) s'annule ou devienne infini, pour deux valeurs données, l'une de z et l'autre de z' .
5" On peut déterminer les foyers des courbes qui nous occupent de la manière suivante : formons l'équation (3) et déterminons o) et co' de manière que deux des nouveaux pôles soient confondus; léquation correspondante de la courbe sera, par exemple, de forme
l'î-ç ri,- .. ri ^, /•« r^...r\ '
et les points d'où émanent les ravons doubles seront évidemment des foyers.
Les courbes que nous venons d'étudier sommairement com-
prennent le cercle -" = const., la lemniscate /Vt l'i, = const. ; on peut donc dire que :
Les trajectoires orthogonales cV une série de cercles, tels que le rapport des distances de leurs points à deux points fixes soit constant se compose d' une série de cercles passant par les deux points fixes.
Les trajectoires ortJtogonales d'une série de lemniscates ayant les mêmes foyers sont des hyperboles écjuilatères qui passent par les foyers.
La théorie des imaginaires fournit encore un autre exemple de trajectoires orthogonales; ainsi les équations
^\ ^ d^ __àf ()x Oy dy ôx
qui expriment que les premiers membres des équations
\dy -^ Y dx — o, X dr — Y dy = o
sont des dilïérentielles exactes, expriment aussi que les courbes représentées par ces équations sont trajectoires orthogonales les unes des autres. De là une foule de systèmes dont les trajectoires orthogonales s'obtiendront par des quadratures. Quand on prend X 4- Yy/ — i = x + yy/ — i, les équations précédentes représentent des hyperboles équilatères. Quand on prend X -r Y y — i =: ( x -\- y y — \)' , on a les courbes orthogonales
x-y — — - — const., xy- = const.
