XVII. Sur les connexes
Considérons une équation à six variables, homogène,
dans laquelle J", y, z sont les coordonnées d'un point et L. — Trailé d' Analyse, V. 7
(j8 CIIAIMTUE II.
;, r,, V les coordonnc'es tangentielles d'une droite. Cette équation représente ce que Clebsch appelle un connexe. Un connexe est algébrique ou transcendant, suivant que son équation est algébrique ou transcendante.
Dans le cas où le connexe est algébrique, son ordre est le degré de /par rapport à x, j', z. Sa classe est le degré àe f par rapport à ^, r,, J^.
Clebsch appelle coïncidence l'ensemble de deux connexes on pbitot l'ensemble des valeurs :r, j^, z\ ç, y,, Ç satisfaisant à la fois aux équations de deux connexes.
Si l'on considère trois connexes, on peut entre leurs équations éliminer .r, >', z ç>\\ ç,'/-, , ^; ils peuvent donc être censés représenter un couple de courbes, l'une en coordonnées ordinaires, l'autre en coordonnées tangentielles.
Considérons un point P et une droite D appartenant an connexe (i), c'est-à-dire dont les coordonnées satisfont à l'équation du connexe; simultanément, P et D constitueront un élément du connexe.
Au point P correspond une courbe enveloppe Y (jui a pour équation (i), dans laquelle ^, y^ z sont remplacés par les coordonnées de P; de même à la droite D correspond une courbe C, dont l'équation est (i), dans laquelle ^, r,, "Q sont remplacés par les coordonnées de D, et, si le connexe est de m' '"" ordre et de /?''""' classe, m et n seront le degré et la classe des courbes F et C.
Ceci posé, soient P et D un élément du connexe (i), P étant un point de Cqui correspond à D, et D une droite tangente à r qui correspond à P. Soient ^), i',, :;i les coordonnées du point 1\ de contact de D et P; H,, r, ,, U) les coordonnées de la tangente D, à G menée par le point P; P, etD, constitueront un élément d'un nouveau connexe que l'on appelle conjugué du premier (i).
Le point (x, , r, , c, ) est à Tintersection des deux tangentes l, r,, j; et i -I- ^/^, Ti H- dfi, X.-^d'Ç: la droite Ç,, t,,, ^i joint les j)oints .r, y., z cX x -¥- dx, y -\- dy, z -\- dz, x, y, z restant constants <pi;m(l ç, y,, t reçoivent les accroissements
ÉQUATIONS DU PREMIEK OUDRE. 99
<r/ç, r/7, , d"^ et H, r,, v restant constants quand x^ y, z reçoivent les accroissements dx^ dy, dz. On a donc
df , , àf df ,
( i ) —- ax -^ -— dy -i- -— «-3 = o,
dx dy -^ ()z
oç or, t>^
On a d'ailleurs
X\ Tl Z\
r^dl—l dr, ^d'^^X d\ \ dt
(^\ ?i ^ "^ii ^ ^1
j^' rf^ — ^ ^(k -2 dx — X dz xdy — y dx
et, comme conséquence de ces équations,
