Xi^q -+- yiT

ij) \\X ^ r,iy -T-Çi^ - o,

( 8 ) Xi de, -+-/! dr, -r- Zi dt ~ o,

{9) ^idx-^r^idy—'tidz^o.

Si l'on remarque qu'en définitive dZ. et dz sont nuls, les formules (8), (9), (2) et (3) donneront

[ J àf ji ôf ^ âf

\ '^i dx ~ Tji dy ~ r^i dz' (fo)

\ xi d'^ ~ y; ô^, ~ T, <)t/

en éliminant entre ces équations et (i) Ç, 7,, ^, x, y, z, on aura l'équation du connexe conjugué.

Le conjugué du connexe conjugué de/= o est le connexe /= o lui-même.

En ellel, soit F(.r,, j^i? ^1 ; ^o '^15 ^ij--" ré(|uation du connexe conjugué de f=o; si, dans r<'-(|uation F ^:= o, on remplace x,,y,, ^,, ;i, r, , , î^, par leurs \aleuis proportion-

lOO cil ATI TUE II.

nelles (lo), on reproduira y* à un facteur M près. Ainsi

ou, en posant pour abréger ^ =/,..., ^ =/',

F(/,, ...; /,. ...) = M/{x, ...,l .■•); or le connexe conjugué de F sera donné par 2^ ^ i ()F 1 dF

2^aF ji dF ic)F

■^2 à\i ~ yz àr^i ~ z, (9Çi' ~ '

ou, si Ion veut,

£dF L^ F--

OU bien encore, en observant (juc y^ o et que, par con-

sequent, —~ = M -r- ^

1 ' ni i\'Ê

1 df \ df \ df

"pr '

] Il '{/■; ^2 àf, -, ôf,

' ^2 àf\ y., df, z, df, ' J °-

Or on a

et, par suite,

donc

nf-^f\"^-r-Ar,~~fiZ,

ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. lOI

Il résulte de là que

les formules (i i) donnent alors

f — !L — 1. ^__J1^ ^■•2 ^ y-i "^ ^2' U " -^,2 ~ Xi'

ce qui démontre notre théorème.

Pour terminer ce que nous avons à dire du connexe conjugué, nous ferons observer qu'un connexe peut être son propre conjugué; les connexes, qui sont à eux-mêmes leurs j)ropres conjugués, sont définis par l'équation

¥ ^\[ àf.Of ôf âf

d^' dr/ rf;' dx' àj' àzj "'

dont il paraît difficile d'obtenir la solution générale, mais dont on peut avoir facilement des solutions particulières.