III. — Continuité des solutions
Supposons inainl(Mi;int que les fonctions o, y, '}, ... contiennent un paramètre a : je dis que les solutions des équations
, , dx dy dz .
( I ) -= es . — -- = V . — = y/ . ...
^ ' dl ^' dt ^-' dt ''
dont nous avons démontré l'existence, et ([ui pour ^ r= /^ se
réduisent à Xq, J'o, ^o- • • -i sont continues par rapport à à. En effet, faisons varier a de la quantité ,^, et appelons o', y',
•y, ... les dérivées — > -f- j -^j • • •: jr,, )'i, ^i , ... croîtront
Oz- ôor- rJx- '' -^1'^^'" -■'■
de A, , A", , /( , ... ; o^o? JK2> ^2» • • • croîtront de Ao, /«'i, /a» • • • ? et même, pour plus de généralité, si l'on suppose Xq, y^, . . . fonctions de a, on pourra supposer que ces quantités ellesmêmes varient de /^o, /«"o? hi ■ • • ; on aura
Xi=x^i^l cp(aro,Jo, t)dt,
cci-\- hi = Xq— /io~ I o{xo-hho, ....t)dt,
Jl = Jo + . . • , JKl -î- ^'l = yo -r- /to + • . . ,
et par suite
hi=ho-r- f\ /io'f,(^\, + 0/*o, ...,a + 0^- ^)
^o'(:ro-f-0/to, ...,a + e^, 0]^^,
En appelant alors M une quantité plus grande que '^j , Oo» • • • i 'j'; y,, y 2, . . . , y', . . ., dans le domaine L, aucune d'elles n'étant supposée infinie, en appelant de plus Hq une quantité supérieure à la plus grande des quantités g, ho, Ao, • • • , prise en valeur absolue, H, une quantité plus grande que la plus grande des quantités g, ht, ki, . . ., prise en valeur absolue, etc., on aura
ii, = 0[iio-^(«i-^o)M(v + r)ii,] ou, en posant t = ^i — t,yz= t., — /| = . . . , II,= OII,[i---:.M(v + i)];
lO CnAPlTRE I.
de même
et, par suite, ou
ou enfin
II,- 01Ii[i^TMfv-+-i)],
H„=OIIo[i-tM(v-i)]«
n„=OHor
H„ = OHoe"'^+i"'f-'»'
Si donc g est infiniment petit, Hq le sera, par suite II« le sera aussi, et il en sera de même de A,<, A„, /„, ... et de leurs limites, ce qui prouve bien la continuité des fonctions X, y^ z, . . . , par rapport à a et en particulier par rapport à •^05 yai -^oi • • • •
Maintenant supposons que, a variant de la quantité g, on représente les accroissements de x, y^ z, ... par x' g, y' g, z' g, . . . , les équations (i) deviendront
d{x~gx') ,
-^ =^{x-^ gx , ...,t\
équations qui, combinées avec (i), donnent dgx'
dt ou bien
'ii^-^gx', ■■■, t)—o{x, ..., t), dx'
dt
a; çp, -H j. (32 -»- . . . 4- cp -T- ^ W,
(■i) < dv' ,
oi, rn, . . . désignant des fonctions finies de x, r, • • ., x', y, .... y., g. Supposons maintenant dans ces équations (2) x,y^ z, . . . fonctions de / données par les formules (i) : ces équations définissent un système de valeurs de x',y\ z', . . . , devenant x'„, j '„, . . . pour t = t^ (et un seul comme on le verra plus loin), dans un domaine convenablement choisi.
Ces valeurs sont continues par rapport au paramètre o^; donc, quand g tend vers o, les solutions tendent vers celles du
système
dv' , ,
dy
cela revient à dire que, pour g = o, les quantités J?', jk', • • , ont des limites et que, par suite :
Les solutions des équations (i) ont des dérivées par rapport à y. et, en particulier, par rapport à j^o? yo-, ^o> • • • •
IV. — Propriétés des solutions d'un système d'équations différentielles du premier ordre.
Nous venons de démontrer que le système de v équations dx dv dz
^'^ -dï = '^^ -di^'-- Tt='-^^ •••'
'^, y, •!/, ... désignant v fonctions de x, y^ z, . . . , t, admettait une solution renfermant v constantes arbitraires qui sont les valeurs de ^, J', z. • • • , pour t = ûq, l^ désignant une valeur arbitraire de t.
Toute solution des équations ^i) renfermant v constantes arbiti'aires distinctes s'appelle une intégrale générale du système (i) ou une solution générale de ce système.
V constantes sont considérées comme distinctes quand on peut les choisir de telle sorte que, pour ^= ^o, les fonctions x^ y, z, ... reçoivent des valeurs données arbitrairement; ainsi les v constantes qui entrent dans une intégrale générale doivent être telles qu'on puisse les choisir de telle sorte que, pour ^= Iq, X, y, z. ... prennent des valeurs données à
l'avance .ro,jo, -o
Soit
(2) IIi = o, llo— o, ..., nv = o
un syslcrne d'équations contenant les v constantes arbitraires r/,, r/o, .... a./^ pour que ces constantes soient distinctes, il faut (lu'cn V faisant ^ = /„, x ^= x^^ y ■=^ y^, ... on |)uisse résoudre ces équations par rapport à «,, «o, ... r/v; il faut et il siiflit donc, pour que les constantes en question soient disliriclcs, que l'on n'ait pas (t. T, p. ifjj)
(j(n,, Ha Hy)
Ceci pose, supposons que l'on résolve les équations (2) par rapport à a^, a^, ... ; on obtiendra des résultats de la forme
(3) «] — Toi, «2=^2. ..., «v = ^Vi
ra,, TTTo, . • - désignant des fonctions de x,y^z^ ...,;. Chacune de ces équations (3) est alors ce que l'on appelle une intégrale de système (i) et, en général, toute équation en x, y, z^ . . . ^ t^ renfermant une constante arbitraire, conséquence de (i), et concourant à former la solution générale, est ce que l'on appelle une intégrale.
Théorèaie J. — Si, entre les équations (2) qui forment une intégrale générale du système (i) et leurs dérivées relatives à t, on élimine «j, «o, . . . , a>^, on trouve les équations (\)ou un système équivalent, c'est-à-dire fournissant
doc d'Y les mêmes valeurs de -7-3 -^-j • • • en x, y., z, . . . , t.
En effet, par livpolhèse, si l'on tire x, r, ;:, ... de (2) pour portt-r leurs valeurs dans (i), celles-ci deviennent des identités, c'est-à-dire sont satisfaites, quel que soit /, et aussi quels (juc soient a,, «o, ..., a^', cela revient à dire
que, si l'on dilTérenlie les équations (2), afin d'en tirer -jy, -~-i •••> ce qui (louno des équations que j'appellerai (E), et si de (E) et de (2) on tire x, y, . . . cl —, -^ , • ■ • , pour les
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l3
porter dans (i), celles-ci deviennent identiques; les équations (i) sont donc des conséquences nécessaires des équations (2) et (E) ne contenant plus a,, a-2, . . ., «vî par définition même, ce sont les résultats de l'élimination de a entre les équations (2) et leurs dérivées. c. q. f. d.
Corollaire. — Si l'on se donne v équations entre x,y, z, . . ., t renfermant v constantes arbitraires et si l'on élimine les constantes entre les équations données et leurs dérivées relatives à i, en considérant x^ y. . . . , comme des fonctions de t, on obtiendra des équations difj'érentielies qui auront pour intégrale générale le système des équations proposées.
Les équations difierentielles ainsi obtenues seront en effet des conséquences nécessaires des équations proposées, c'està-dire seront satisfaites pour les valeurs de j:, r, z. . . . tirées de ces équations.
Théorème II. — La condition nécessaire et suffisante pour que
(4) ra = a,
m désignant une fonction de x, y., z, . . ., t et a une constante arbitraire, soit une intégrale du système {i) est que l'on ait identiquement, c'est-à-dire quels que soient x, y,
dm dns dm <)m ,
^ ^ dt dx ' ôy '■ Oz '
En efl'et, dire que (4) est une intégrale de (i), c'est dire qu'il existe v — i autres équations
(6j mi= ai, m^^ cil, •••^ ^v-i=^v-i)
cî, , rryo, ... désignant des fonctions de x, y, z, . . . , t et a, , cij, . . . des constantes arbitraires, formant avec (4) une intégrale générale de (i).
l4 CUA PITRE r.
Si l'on différentie les équations (4), (6), ce qui donne
/ dm dm dx dm dy
\ di "^ ~dx ~di '^ dy lîi ~^ °'
(7) / dm\ dm^ dx dm^ dy
j lït "^ ~dx ~di "^ ~dv dl~ ^'
dm
dm
dm
~di
~dx
(Jttt,
dm)
dm.
dt
dx
dy
et si de (4), (<>), (7) o" t'^'e ^,JK, • . ., -^7 ^> •• • pour les
porter dans (i), ces formules deviennent identiques, c'està-dire ont lieu quel que soit t et aussi quels que soient a^, rto, ... ; en d'autres termes, si entre (4), {C)), (7), (i) on éli-
dy* fi'X^ • • • ' •
mine x^y. ...,-,-> / 5 • • • > on obtient des identités. Elimi-
doc dv nons d'abord -7-> -37» • • •; nous aurons dt dt
Ces formules doivent devenir des identités en y remplaçant .r, y, ... par leurs valeurs tirées de (4) et (6); mais, supposant cette substitution faite, elles ont lieu quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées à a, «4, a^, • . • • Or on peut cboisir a, «,, «o? ... de telle sorte que x^ y, c, . . . aient des valeurs données arbitraires; les formules précédentes (8) ont donc lieu pour des valeurs arbitraires de x, y, ... ; ce sont donc des identités, même avant la substitution à x, y^ ... de leurs valeurs tirées de (4) el(()); donc, en j)arliculier, la formule (5) est bien une identité.
Réciproquement, si la formule (5) est une identité, la foi'mule
, . dm dm dx dm dy
<9^ j^ ^ dx lï^dj lu ^- •■ = '''
que l'on obtient eu y remplaçant cp, y, ... par leurs valeurs
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l5
tirées de (i), sera une conséquence de (i) : elle pourra même
remplacer l'une des équations (i); or cette formule (9) peut
s'écrire
dm =0 ou w = const.
On en conclut que 75 = const. , ou w = « est une conséquence de (i) et concourt à former son intégrale générale : c'est donc une intégrale de (i).
Corollaire. — Les résultats précédents peuvent s'énoncer d'une manière un peu différente. Dire que (5) est une identité, c'est dire que m est une intégrale de l'équation en u aux dérivées partielles
. . du du du
On peut donc dire que :
La condition nécessaire et suffisante pour que cr = const. soit une intégrale de (i), c'est que ttj soit une intégrale de V équation (10) aux dérivées partielles.
Remarque. — Les constantes «, «», ... sur lesquelles nous avons raisonné doivent être arbitraires ; ainsi rn = o, par exemple, pourrait être une solution de (i), plus exactement pourrait concourir à former une solution de (1), sans que ts fût solution de l'équation (10); nos raisonnements supposent essentiellement que la constante a peut être choisie égale à tel nombre que l'on voudra, sans que rsr= a cesse d'être une intégrale de (i).
V. - Classification des solutions des équations différentielles.
Théorème L — Lin système de v équations différentielles du premier ordre
, , dx dy dz
(') ^==^' i='/' -dt-"^^ ■•■
n'a qu une seule intégrale générale.
l6 CIlAriTIlE I.
Kn d'au 1res ternies, il n'existe qu'une solution de ces équations renfermant v constantes, pouvant être choisies de telle sorte que, pour t = to, oc, j, z, . . . prennent des valeurs
données a^ojj'o» ^oi •-••
Considérons en effet une solution renfermant v constantes distinctes a,, rto, . .., n^, cette solution se présentera sous la forme
(2) ni = o, 112 = 0, ..., nv = o,
n,, ilo, . . . désignant des ronclions de x,y^ z^ . . ., /, «i, rto, . . . , «V Or, quelle que soit une solution du système (i), on peut toujours la présenter sous la forme (2), as^ a-^^ • ■ ■ , (h ne désignant plus des constantes, mais bien cette fois des fonctions convenables de^; pour déterminer ces fonctions, il suffit, après avoir remplacé, dans (2), x,y, z, ... par leurs valeurs en fonction de t, de résoudre les équations (2) par
rapport à «1, «2^ • • ■ -, ct^^-
Dideren lions les formules (2) et représentons par la nota-
cin .
lion —r la (luanlite dt '
du dn dx dVi dy
dt dx dt ôy dt
nous obtiendrons les formules suivantes :
dUx dWi da\ dWx da^
dt Oui dt duz dt ' ' ' '
(3) \ rm, du., da^ dU-, da^
dt da, dt da^ dl ' ' ' '
Pcnir (juc les formules (2) constituent une intégrale du sys-
doo d'Y
tème (i), il faut que les valeurs de x^ )', c, . . . , -^> -^ » • • - >
tirées de (2) et (3), satisfassent à (i); or les valeurs de ces (piaiililés tirées de (2) et de
f/n, r/ri, rfHv
rendent les équations (i) identiques, c'est-à-dire que ces équations ont lieu, quels que soient les a et, par conséquent, quelles que soient les fonctions de t par lesquelles on remplace les a. Il en résulte que, réciproquement, si l'on remplace
dans les formules (4) ^'777' * * ' P^'^ 'i-> '/,' ■ • • ^^ ^^ y-, • • • par leur valeurs tirées de (i) et (2), elles deviennent identiques; les formules (3), quand on y suppose x, y, ... remplacées par leurs valeurs tirées de (i) et (2), deviendront également identiques, en sorte que l'on a
dUi dax dUi da^ ôW^ da~,
da^ dt dcii dt • • • ' ^)^^ ^if^ '
\ dai dt da^ dt ' ' ' ' da<, dt '
telles sont les équations qui détermineront a,, a^-, On en tire, en général,
dai da^i das,
11 ~^' ~~dt~^' *■" ~dt
ce qui donne tii = const., «2= const., ... et l'on retombe sur la solution générale d'où l'on était parti; mais on peut encore satisfaire aux équations (0) en supposant
(6) ^^(n,, n, Hy)
0{ai, ao, ..., av)
Cette équation détermine l'une des quantités a en fonction des V — I autres : les équations (5) se réduisent à v — i distinctes; elles sont différentielles et du premier ordre et font connaître avec (6) les' quantités «,, «2? •••> «v On peut encore satisfaire aux équations (5) en annulant non plus seulementleur déterminant, mais ses mineurs, ce qui revient à annuler deux de ses mineurs ; on a alors deux équations qui, jointes aux v — 2 auxquelles se réduisent les équations (5), L. — Traité d'Analyse, V. 2
l8 CHAPITRE I.
feronl encore connaître les valeurs de «), «o, . . , et ainsi de suite :
i" Supposons que le système (i) se réduise à une seule équation, et son intégrale générale à n| = o, contenant la constante a, il pourra exister en outre la solution 04 = 0 dans
laquelle a sera tiré de l'équation — !• ^ o, à laquelle, dans ce
cas, se réduit le système ( o 1, si cette équation — = o a une ' •' \ /' n ()a^
solution. Le système (i) réduit à une équation unique n'aura
donc qu'une solution renfermant une constnnte arbiti'aire, en
un mot, qu'une solution générale.
2° Supposons le système (1) composé de deux équations :
soient fl, = o, 112 = 0 sa solution générale, renfermant les
constantes «, etaoî il pourra avoir une autre solution donnée
par les formules
o(ai, a»)
t^IIi da\ dlli dai Oa^ dt ' Oa-î dt
ou par les formules
an, dn^
uai oai
En aucun cas, ces solutions, fournies au plus par une équation dififérentielle, ne pourront renfermer plus d'une constante arbitraire.
3" Si le système (i) renferme trois équations, outre la solution générale, il pourra en exister d'autres, données au plus par deux équations difTcrenticlles et ne pouvant |)as par suite contenir plus de deux constantes arbitraires, et ainsi de stiile.
Donc, enfin, un système de v équations du premier ordre ne peut avoir plus d'une intégrale contenant v constantes arbitraires, c. Q. F. D.
Mais la démonstration précédente met en évidence une
foule d'autres solutions qui ne rentrent pas dans l'intégrale générale, c'est-à-dire que l'on ne peut pas en déduire en donnant aux constantes des valeurs numériques particulières : on appelle ces solutions intégrales singulières, en réservant le nom à^ intégrales particulières ( ' ) à celles que l'on déduit de l'intégrale générale en attribuant des valeurs numériques déterminées aux constantes arbitraires qu'elle contient.
