XVIII. — Coïncidence principale. — Connexe identique
Le connexe
(i) ar^-h/T, — ^^ = 0
estce que l'on appelle le connexe identique; au point (.r,j', z) dans ce connexe, correspondent toutes les droites passant par ce point, et à la droite (^, vi, Z,) correspondent tous les points situés sur cette droite.
Soit
l'équation d'un connexe quelconque : les équations (i), (i) représenteront ce que l'on appelle la coïncidence principale du connexe (1). Dans cette coïncidence, au point [X^y^ z)
correspondent un nombre fini de droites passant par ce point, et à une droite (i, rj, ^) correspondent un nombre fini de points situés sur cette droite.
Supposons que l'on donne à x^y, z des valeurs a, b, c\ en vertu de (2), la droite (^, r,, Z,) enveloppera une courbe F; et, en vertu de (i), (2), au point (rt, b, c) correspondra une ou plusieurs tangentes à F contenant le point («, b, c). Si Ton donne à (ç, r,, "Ç) des valeurs a, [3, y, le point (>^,y, z) se trouvera, en vertu de (2), sur une courbe C, et, en vertu de (i^ et (2), à la droite (a, ^, y) correspondront un nombre fini de points situés sur la courbe C et sur la droite (a, ^, y).
A chaque point {^x^y,z) correspondent un certain nombre fini de droites passant par ce point ou, si l'on veut, un nombre fini d'éléments clx^ dy, clz dans la direction de ces droites; entre x^y^ z eldx, dy, dz, il existe une relation que nous allons chercher, et qui définit une famille de courbes.
Quand x,y^ z croissent des quantités dx, dy^ dz, dont il vient détre question, ç, r,, ^ restent constants : on a donc, non seulement
ç^^-TQj-i- t,z =0, mais encore
^ dx -r- Ti dy -r- l dz =0
et, par conséquent,
ç ri K .
y dz — z dy z dx — x dz x dy — y dx'
portant les valeurs de ç, r,, J^ dans (2), on a
(3) f{x,y, z,ydz—zdy, z dx — x dz, x r/y — y dx) = o;
telle est l'équation différentielle qui définit la famille de courbes dont nous avons parlé et que nous appellerons les courbes connexes de /= o.
De même à chaque droite (q, r, , Ç) eorrcsjiond un certain nombre fini de points sur cette droite, et, quand (i, Tj, k) subissent des accroissements r/;, r/r,, d^^ de manière qu'elle tourne autour de l'un de ces points, il existe des relations
ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. Io3
entre ç, r,, '(^ qui définissent une enveloppe dont l'équation différentielle est
/(^. (i"^ — ^(frn ■■■■ ;, Ti, O -= O,
et qui sont aussi des courbes connexes dey= o.
XIX. — Rôle des connexes dans la théorie des équations différentielles du premier ordre.
Considérons maintenant une équation différentielle du premier ordre, si Ton y regarde la variable x et la fonction j- comme les coordonnées d'un point, on pourra la présenter sous la forme
et, sans nuire à la généralité, sous cette autre forme o{x, y, dx^ dy, x dy — y dx ) = o
OU enlin, en remplaçant x par - et y par -- :
( I ) <f (^, y^ ^-1 y dz — z dy ^ z dx — x dz, x dy — y dx ) = o,
'j désignant une fonction homogène par rapport à x^y, z\ dx, dy, dz.
Mais, d'après ce que l'on vient de voir, si l'on considère la C(/i'ncidence principale
ses courbes connexes auront (i) |)our équation différentielle; ainsi toute équation différentielle du premier ordre représente les courbes connexes d'une certaine coïncidence principale.
Cette remarque est féconde, elle conduit à des conclusions importantes louchant la théorie des équations différentielles.
io4 en A PI tri: II.
\l[ d'abord, ('tant donnée une coïncidence principale
algébrique de degré fn et de classe n, on peut la remplacer par
M désignanl une expression de degré ni — i cl de classe n — i et A désignant l'expression r ç -J- ir, -h ^C- ^^ ^6 change pas ainsi les courbes de coïncidence ; de là un moyen de transformer une équation différentielle en une autre qui dépendra de la forme attribuée à M et qui pourra être parfois plus facile à intégrer.
XX. — Transformation des connexes et des équations différentielles.
On peut simplifier un connexe /(a;, j)^, :;; ;. y,, Ç' — o en lui faisant subir une substitution, telle que
Vl ^2 V3
'j,, '^2, 'J3 ; '];,, -Jyo, 'i/ii désignanl dos fonctions entières de .r. y, ::; ^. y,, Ç On lui fnil alors subir ce que l'on appelle une substitulion rationne/le. On peut faire subir la même substitution à une coïncidence, et, en nous plaçant au point de vue des équations différentielles, on peut se demander :
Quelles sont les st/h.sf/fi(/ions(i). (2) r/tti IransfornienL la eoïncidence prinripalr du connexe
en une nuire coïncidence principale?
ÉQUATIONS I)L" PREMIER ORDRE. lo5
Ces conditions exigent que
^x -^ rj' — ^z — o et ^ dx — r, dj — H^ dz = o
deviennent
^'x' -^ t/ v' — Çz' ^ o et ;' dx' — r/ dv' -r- ^' dz' — o
La première de ces formules doit donner lieu à l'identité
(4' '^r^j,-'o,'l,~'^rl,= Mf^^(Tl--yr,^z::);
la seconde peut s'écrire
Or on a
X de —y dr^ — z d1 = o,
x\ -:-jrj -5^ =o, ^/i — r/2 — -/s =0,
/i^ A" 5/3,/',, /o 5/3 désignant pour abréger^, ••••^' •••;
de ces équations on conclut pour dz,, ch^, dX^ des expressions de la forme
^ f^ ) ^; -fx dX) — \ d\, dr^ =/o f/U — -r, ^V, ^Ç =-- f^ d\} - !: d\ .
De même
^-) dx=-f\d\j' -xd\'\ dy=f'.,d{}'- yd\\ dz^/'^dlj' -^ zdW';
portant ces valeurs dans l'identité
fidx —fo.dy-f^dz -r-f\d\-f\ dr, — /; < ^ o,
on a, toutes réductions faites,
c'est-à-dire dV ^^ — dV; car, en général, y étant donné, on
n'a pas/, /", ^- f-if ., —.A/J, - ' f>- Or l'équation (5 ), en vertu
I OG cil A P I ï R E 1 1
de (6) el ('7). devient aussi
àoi do
ou, en verlu de dU -h dV = o el de
s désignant le degré de ca,,
r P C?V -:- P' rfV") ( (p 1 -^, - CP2 J;2 ~ 03 ^3 )
P et P' désignant des polynômes entiers; cette équation peut s'écrire
Si l'on soumet l'équation (4) à l'opération
^\d'c, ()x Ox d\j ' on trouve
Pour que la coïncidence principale de f ^= o se transforme en une autre coïncidence principale, il faut qu'il existe des polynômes M', N', M", N" donnant lieu aux identités (S) et (g).
XXL — Sur le facteur d'intégrabilité.
Toute équation différentielle du premier ordre peut théori<|ncmcnt être ramenée à la ("orme
P dx -r-Qdf =o
OU, en remplaçante par - et j' par ^,
Vi^zdx — X dz)-\- Q(^ dy —y dz) = 0,
et cette forme est un cas particulier de la suivante
(i) 'Liy dz — z dy \ ^'^\{ z dx — x dz\ — '^{x dy — y dx \ — 0,
qui représente les courbes connexes delà coïncidence principale
L, M, N désignant des fonctions de x^ y, z. Cherchons le facteur d'intégrabilité |x du premier membre de (i ) ;
\x\L(y dz — z dy .-^'\\{z dx — x dz ) -t-'^{x dy — y dx ) ]
doit être une différentielle exacte; par suite, on doit avoir
dz dy
d\i.{\.y — ^\x) ()|jl(M^ — Nj)
dx ôz
d[j.(Mz — N j I dixC^x — Lz)
dy dx
Si l'on développe la première de ces formules, par exemple en désignant par m le degré des fonctions homogènes L, M, N, on trouve
\ dz dy I \ dz *^ dy J
/d?i dM\ , [ dL d\.\
-^^^\Tz---dy)^'''^'-^—^'-\:Tz-^y-dy)'-''
ou bien
dx dy dz j \ dx dy dz J
fdL dM dN ^ \ f dL dL dL\
ikx — -H ! — 2uL — \i ( X !-r- — r---— =0.
•^ ^^dx dy dz/ ' ^ \ dx -^ dy dz /
I08 ClIAPITRH II.
Soit pour iiii inomcnL a le degré de [x : cette équation, en vertu du lliéorème des fonctions homogènes, deviendra
\ Ot oy Oz
l'dh dM dn\
' \0x Oy Oz' ' '
si donc on avait
a - 2 — m ' o ou a = — m — 21. on aurait simplement
^^' dx oy dz ' \dx ây dz /
et chacune des formules (3) fournirait la formule unique (4)- Cette formule ( \) fournira un facteur d'intégrabilité du degré — m -I- 2 V
M. Darboux a remarqué que l'on )>ouvait simplifier l'équation (4) et supposer
dl. t)M ^ ()\
âx ' dy dz
en effet, en ajoutant au premier membre de (4) l'expression nulle
\[x{y dz — z dy) -+-JK( ^ dx — x dz)-^ z(x dy — y dx}\,
où A est homogène de degré m — 1 , l'expression
dL ÔM dN
âx dy dz devient
dih-'-Xx) d{M~Ay) d(M-+-Azi
àx dy dz
OU
dL dM dN
dx dy dz
•I cr, 1 1 àL dM , ^N , ,
il sutlit donc, pour annuler h -r 1 — 1^> de prendre
c/jc oy^ o*^
/(^L dM dN\ I
dM __ dN\ dy '•' 'dz)
\ dx dy ' dz J m -r- 1
