XXII. Problème des trajectoires réciproques

Le problème des trajectoires réciproques^ qui a été robjcl des recherches de Jean Bernoulll et d'Euler, peut s'énoncer comme il suit :

Trouver une courbe MN {Jig- i), telle que sa symétrique par rapport à Vaxe des y, transportée parallèlement à l'axe des y, coupe toujours cette courbe MN 50Z/5 le même angle.

Soient M' N' la symétrique de MN par rapport à l'axe des

y] M" N" cette coui'be transportée parallèlement à l'axe û.esy on devra avoir toujours

MBM"= MA M'.

Soient X l'abscisse OP et y l'ordonnée PB,

PQ=y et MAIVI' = a;

angle MBM" = a,

on devra avoir c'est-à-dire

arc tans -; h arctaiiir -j-, — a.

dy " dy

no C H \ P I T U E I I .

Or y' est une fonction connue de x; car, l'équation de la courbe primitive étant r =/(r), on aura

on aura donc

arctang -^ — - -^ arctang -^

Si l'on fait

arctang -n- — x = o(^);

on a

pour résoudre le problème, il suffira donc d'égaler à une fonction impaire quelconque arclanir-:;; a, et l'on

aura

^^ = tang[ia^<f(^)],

/(a:) = / cot - a -H o{x) dx.