VI. — Des solutions singulières

En résumé, nous venons de voir que le système des v équations différentielles du premier ordre

, . dx dy dz ,

<'^ ^=?' ^=^/-' -dt='^^ ■■■

avait :

1° Une solution, son intégrale générale, composée de v équations

(2) ni=o, 112 = 0, .... Dv = o,

renfermant V constantes arbitraires distinctes, a,, a.2, . . . , «vî 2" une solution singulière donnée par l'équation

et V ^ — I des équations

OUi dai c)ni da-j

âai dt Ocu, dt '

tïtlv da\ dW~i da^i

dai dt ' ' ' da~, dt '

OÙ x^ y, ... sont censés remplacés par leurs valeurs tirées

(') Quelques auteurs désigoent sous le nom de solutions particulières celles que nous appelons singulières.

de (:i) cl où 11 désigne le délerniinant

d(Tlu 112 Hy)

d(ai, a^, • • . , «v)

Celle solulion pourra ne pas exister : c'eslce qui arriverait si le système (3), (4) présentait quelque incompatibilité. S** Une solulion singulière donnée par deux des équations

dïi OR

Oai dao

et par v — 2 des équations (4); cette solution pourra de même ne pas exister, et ainsi de suite.

Toutes ces solutions pourront ne pas exister : ainsi, par exemple, si R = o était une équation absurde, telle que I = o par exemple, il n'y aurait pas de solution singulière. En aucun cas, les solutions singulières ne seront en nombre infini, car R ne peul être identiquemeiU nul, sans quoi les constantes «(, «05 . . • , «v ne seraient pas dislincles (p. 12).

Indépendamment de ces solutions singulières que l'on peut déduire de l'intégrale générale et que nous appellerons, pour abréger, solutions de première espèce, il peut exister une seconde espèce de solutions singulières, et, en effet, nous avons admis tacitement dans nos raisonnements que les fonctions 'j, y, 6, ... et leurs dérivées étaient finies, continues et bien déterminées quand on supposait t=ztQ, X = Xq, y =yo, .... Quand ces hypothèses ne se trouvent pas vérifiées, nos raisonnements sont en défaut et les conclusions que nous en avons tirées peuvent être inexactes. L'expérience prouve efFectivemeat que l'on peut trouver des solutions singulières en écrivant que <p, y, 'J>, ... ou leurs dérivées relatives à x, y, :;, ... sont infinies ou indéterminées.

Enfin nous avons supposé les équations dinéretilielles pro-

dx ~di

posées résolues (théoriquement au moins) par rapport à -^->

— ■> •••; si elles ne pouvaient pas fournir des valeurs bien

déterminées pour ces quantités, nos conclusions tomberaient en défaut.

Remarque. — Lorsque l'intégrale générale se présente sous la forme

CTl := O, 7ÏT2 ^ O, • ' • i '^y ^^ O,

les fonctions TTT, , vs-,, . . . ne renfermant chacune qu'une seule constante arbitraire, les solutions singulières prennent une forme simple à remarquer. Si, par exemple, rn, ne contient que