V. — Équation adjointe

Théorème. — Liant (/année une équation linéaire sans second membre

i ' ) Xo j'« ^ X, j«-i -4- . . . -^ X„7 = o,

dans laquelle y' ^ y", . . . , j-" désignent les dérivées de y prises par rapport à x et Xq, X,, . . ., X„ des fonctions données de x, il existe toujours un multiplicateur M, tel que, quelle que soit la valeur attribuée à y, l'expression

soit la dérivée exacte d'une certaine fonction de x^ y et des dérivées y', y", . . . , y"~' •

En efi'et, d'après ce que l'on a vu (t. Ilï, p. 21 5), pour que l'expression (2) soit une dérivée, quel que soit y, il faut et il suffit que M satisfasse à l'équalion dinérentielle linéaire sans

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second membre

MX„--^(MX„,)^j^.(MX„..,-... = o.

Il en résulte qu'il existe non seulement un, mais une inlinité de multiplicateurs; la connaissance de l'un de ces multiplicateurs permettra d'abaisser l'équation [)roposée d'une unité. Mulliplions maintenant l'équation en M ]iar ydx et intégrons; nous aurons

Jj'd.r]^M\,. S:^— --•••]

^^ ^"-' ^ ^ dx y ~ ^^ ^"-' ^

dHMXn-:i) , ^(MX„3) , -,-.

en dilTérentiant et en supposant quejv* satisfait à l'équation (i ),

on a

r r/(M\„,) "l diï

Q désignant les termes qui, dans l'équation précédente, ne sont pas sous le signe / •

Il résulte de là qu'une solution de l'équation j)roposée (i) peut servir de facteur d'intégrabilité à l'c-quation du nudliplicateur; il y a donc une sorte de réciprocité entre une équation linéaire et celle de son multiplicateur.

Si l'on parvient à découvrir une solution de l'équation pioposée (i), on aura par cela même une solution de l'équation du multiplicateur par les cjuadratures; celle-ci, à son tour, j)ermettra de trouver une solution de l'équation jn-oposée, et ainsi de suite; mais on peut être arrêté dans la suite des calculs, parce cpie l'on tombe sur une solution (pii n'est pas distincte de celles que 1 on a tléj.à. L é(|iiation <lu mulliplicaleur s'appelle (piehjuefois Wuljoinle de la proposée.

DES f-QLATlONS LINÉAIKES. 1 29