VI. — Détermination des solutions communes à deux équations

linéaires.

Lorsque deux équations linéaires

F(j) = o, G(>i-=o, dans lesquelles

F (y ) ^ Xoj'" - X , 7'" -1 -T- . . . -^ X„,7, G('v)-Z„r« — Z,r«-' -^...^Z„y,

X/ et Z/ désignant des fonctions données de .r, ont des solutions communes, on peut les trouver comme il suit. Supposons m ^j> n : on pourra toujours déterminer une fonction Q, telle que la diflerence

ne renferme plus la dérivée r'". Or toute solution commune aux équations F ^ o, G = o annulera F(j') et les dérivées de G{y), par suite elle annulera G, ; donc les solutions communes à F = o et G = o appartiennent à deux équations dont les ordres sont moins élevés que ceux de F = o et G = o et qui sont linéaires; et vice versa, les solutions communes à G, = o et G = o appartiennent à F = o et G = o. On procédera sur G et G| comme sur F et G, et ainsi de suite.

Soit Gj une fonction déduite de G et Gi comme G, Ta été de F et G, etc.; considérons la suite G, G), G^, - . ., G^. Si Ga est de la forme Hj/-, H étant indépendant de j', les équations G r=o, F =0 auront la solution commune j)^ ^= o seulement. Si au contraire on trouve o =:= G/t, l'équation Gyt,=oaura pour solutions les solulions communes à F = o et G ^^ o.

Taules les fois que deux é(juatioiis linéaires oui une seule solution commune, celle solulion peut s'obtenir par des quadratures.

\\\\ elTet, cette solution doit ap|)iirlci]ir à une équation L. - TraiLé d' Analyse, V. ç)

i3o CHAPirni: m.

linéaire du premier ordre, cl Ton sait que loule é(|ualit)n

linéaire du premier ordre peut s'inlé<;rcr au moyen de simples

quadratures.

On peut arriver d'une autre manière aux résultats précédents.

Représentons par A(r) l'expression linéaire

par B(y) l'expression

d-y , dn-^y

etc., en sorte que A, B, ... seront des symboles opératoires sur lesquels nous allons établir quelques théorèmes.

Théorèmk t. — Etant données deux expressions symholiques ^(y)-, B(.i') d'ordi-e m et n respectivement, il est toujours possible de déterminer des expressions i), R, telles que l'on ait, quel que soit y,

(,) A(.r) = Q[BO')]-P,0').

Q étant d'ordre m — n et R d'ordre n — i .

En eflet, Q[B('.T'j] f^sl de la forme

et l'on a

Go -^ - -4- G, —, '-- -\-. . .-- G,„y.

dx'" dx'"-^ -^

Go-QoB,,

G, .- {m - «)n., ^" 4- QoB,-^ B„Q„

Si Ton ('-gale les quantités Go, (i| G/„„ aux coelïicieuls

A,), A, . . . . , A,„„, on aur.i m — « -j- i écpialions pour déterminer (^0, Q,, .... Q,„«, et qui seront compatibles, parce que Hq^o; sans (|uoi B(j)') ne serait pas d'ordre n\ la quantité A(y') — Q[B(.i')] sera alors d'ordre n — i : on pcul la représciilcr |)ar R(j') et le théorème est (b'inontré.

DES ÉQIATIONS LINÉAIKES. l3l

A est ce que Ion peut appeler le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le reste.

Lorsque le reste est nul, on a

A(r)-Q[BO')].

A est alors décomposé en facteurs Q etB; mais, en général, on n'a pas Q(B)^ I^' Q)* ^t les symboles linéaires ne sont pas commutatifs.

Théorème II. — Quand deux équations différeutielles

linéaires

k{y\ = o, BC>') = o

ont une solution commune, elle appartient à une équation d'ordre moindre.

On peut en effet diviser A par B, ce qui donne

si ^( y) est nul, toute solution de B(j') = o appartient à K(y)^o', sinon, toute solution commune àA(jj^) = () et B' y) -= o appartient à R'^JK) == ♦^i et toute solution commune à R(j') = oet àB(j^) = o appartient àR(j^} :^ o. Posant alors

BO-; = Q,[R(j)]-R,(v),

on est ramené à chercher les solutions communes àR(y) = o et à R)(jk) ^ o, si R/^l') n'est pas nul, et ainsi de suite.