VII. — Équations linéaires à coefficients constants

Quand une équation linéaire a ses coeflicients constants, on l'intègre très facilement. Considérons l'équation à coeflicients constants, sans second membre,

( I ) A„ r« -^ A„, V"-' -4- . . . — Ao V =- o ;

si l'on V posej' = e^-^, a désignant une constante, elle dc\ icnt, après la suppression du facteur r'^,

(2) A„a"-^ A„.ia"-'— ...— Ag = 0.

i32 CHAI' nui: m.

Celle écjualion [2) est ce que l'on appelle ré(]uation caractérisli(jiie : nous la désignerons par F(a) = o ; elle a n racines» et, si ces racines ai, a^, . . . ,y.n sont distinctes, e^^i^, e*î*', . . . , e'^ii^ seront autant de solutions de (1); la solution générale de (i) sera donc (p. 120)

y = dc^.^ -t- CjC-'^^-f-. . .-H c„e«»^.

D'ailleurs les constantes C|, Co, ... sont distinctes, car le déterminant des dérivées des fonctions e^>'", e^^-^, ... se réduit ici, à un facteur exponentiel près, à

qui est le produit des dilTércnces des quantités a,, y..,. ... ; ainsi, quand les racines de F( a ) n^ o seront distinctes, la formule (3) représentera l'intégrale générale de (i). Quand des racines de F(a) sont égales, notre procédé tombe en défaut; il fournit bien des intégrales en aussi grand nombre qu'il y a de racines distinctes, mais ces intégrales seules ne peuvent pas concourir à former l'intégrale générale. Soit a, une racine d'ordre de multiplicité /; on a idenli(juement, en remplaçant dans {\) y par e=*-*,

fin p'xx fin — \f>i.x

A„ -^^ - + A,., -^^^^ -....+ A..« = F(aK-. Didércntions i — 1 lois de suite |)ar rapport à a, nous aurons

si l'on fait alors a :a,, le second membre esl nul, à cause que a, esl racine d'ordre i de F(a); il doit donc en être de même du premier, donc .i-'"' c'''-^' est une solution de (1). 11 est claii- (pic .rc^i'', .r-e*i-*', . ., .r'"-e*>-^"soutégaleinenl des so-

DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. l33

lutions, ainsi qu'on l'aurait prouvé en difTércntiant. une, deux, etc. fois au lieu de i — i lois. Ainsi l'intégrale générale devient

y =^ c le'J-i"^ (\ -r- a X ~- b X' — . . . — kx'-^ )— Coe^^'^-r-. . .,

«, b, c, . . . , k désignant des constantes.

Quand l'équation caractéristique a des racines imaginaires, si ces racines sont conjuguées, on est conduit à introduire des termes de la forme

dans l'expression de l'intégrale générale; mais ces termes donnent le résultat

( Ci-^ C,)eP'^ co?,qx — \/^^(G,— C2)e/'^sin^.r;

or, les constantes C) et Co étant arl)itraires, on peut poser

Cl ^ Go = A et Gi — G2 = ;

de cette façon, nos deux racines imaginaires /^ + <7 v~~ ' ^^ p — q<^ — - 1 nous donnent les deux termes réels

A eP^ cos qx -^\i eP^ sin ^.r.

Si, d'ailleurs, on pose

A = pcosA<7, B — o«inA^,

h et p désignant des constantes, l'expression précédente

deviendra

peP^ cosq{x — h ,

que l'on pourrait aussi remplacer par pe^-''sin^(x — A). Si l'équation caractéristique avait 21 racines imaginaires égales, la solution prendrait la forme

peP^ cosqx(i -r- ax -— bx^-h. . .-\- kx^-^)

-;- p' eP^%iaqx{i -+- a' x -'- b' x- H-. . .-4- k' x^-^ j -t-. ..

l34 CIIA TITRE III.

Les équalions cJe la forme

\„{ax-^b)'^y'''> -r- A„,(,aj:-T-6)"-'7<«-i)-^. ..4-Aoj = o,

clans lesquelles Ao, A,, . . . , a et ^ désignant des conslantes se ramènent à la forme linéaire à coefficients constants, en posant ax -+■ b = ae^,

dx dt ' dx''- dt^ dt ' ' * ' '

mais on peut aussi en trouver des solutions particulières en posant ^ = (rt^ -f- ^)^- Ou obtient alors une équation analogue à l'équation caractéristique, donnant en général n valeurs de jjl distinctes; quand ses racines sont égales, un artifice, analogue à celui que nous avons employé plus haut^ donne la solution.

Exemples : i" y" — 2y' -^y = o. — L'équation caracté

ristiquc est

'JL- — 'i a -+- I = o ;

les racines sont égales entre elles et à i ; l'intégrale est donc

j = Ge'^(n- ax).

2" y"x- — yx-\-y^o. — On posera }' = .ri^, on aura. en supprimant le facteur ^i^,

[x(ijL — I ^ — jj. -;- I = o ou ijL- — 2 ij. -.- I = o ;

la solution est

y = G:r(i -H a \ogx).

En posant :r = e', on aurait eu

^ ~ dt" ' ^ ~ dv^" dl '

cl, pur suite,

dt- dt

dont la solution trouvée tout îi l'heure est

y — Ge'i^i -T- at) ou

y = Cxd-T-alogx).

Ainsi, quand les coefficients de l'équation linéaire sont les puissances de x et quand l'équation caractéristique a des racines égales, la solution est de la forme

cxV-y\ — a \o^x — b\o^-x -i-. . .).