VIII. — Équations avec second membre
Quand on a la solution générale d'une équation sans second membre ¥ [y)=^ o, il suffit de connaître une seule solution de l'équation avec second membre
Pour trouver la solution générale de cette équation, si, en effet, appelant 'C. la solution connue de(i\ onposej^ = '^-x-y^ . elle devient
ou
mais, "Q étant solution de (i ), on a
et par suite
si donc j', est la solution la plus générale de cette équation, 'C,-\-y^ sera la solution générale de (i).
Toute la question pour la résolution des équations à coefficients constants se réduira donc à obtenir une solution particulière de l'équation avec second membre. Avant de donner
iSf) CHAPITRE m,
une rèj^le f;;énéralc pour parvenir au résultat, nous examinerons quelques eas particuliers :
i"Si le seeond membre de l'équation linéaire à coefficients constants
est un polynôme entier, on satisfait ordinairement à cette équation par la méthode des coefficients indéterminés en
posant
y =^ a -^ bx -•- cx"^ -f- . . . ,
a, b^ c. ... désignant des constantes.
2° Si f{x) est de la forme e'^'^, on essayera la forme y 1=. ge"'^ ^ g désignant une constante.
3° Si /{x) est une somme de sinus et de cosinus, on essayera la forme
y = A1COS.T ~ Ao cos'2,?; -h. . . — Hi sin.r -^ \>ii\nix . . . .
A,, B,, ... désignant des coeflicients constants et ainsi de suite.
Exemples : i";5^ — yz=:x-. — La solution de ré([ualion sans second membre est
essayons de satisfaire à l'équation avec second membre et
posons
y — a -^ bx -^ cx^,
y = b -~ 7.CX,
l'équation deviendra
■xc — a — bx — ex- — x^.
On y satisfait en posante = — i,^=:o,rt = 2c = — 2: donc
7 = —x^ — %~ Cl ^* -^ Go e-^
est la sulution générale de ré(piati»)u j)roposée.
DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. iSj
2° —r~ — r ^ e^. — On essayera d'v satisfaire en posant
y ^= me^ : mais alors on trouve oz=e-^. La règle que nous avons donnée tombe en défaut; mais, si l'on résout d'abord l'équation
dx'- ^ ■
on est conduit à poser j)'= ine"^^'; on a alors
y = in\i?-e^^ et m \i.- ■ — m = i, ni ^^ ^ -)
et par suite 1' = est une solution; la solution la plus
générale est
ou
/' I \ ^ eV=<= — ex v = ( d-i ; )e^— Ce-^-.
En posant Ci -. ^ = A. on a
Faisons tendre avers i ; en laissant A constant, nous aurons. pour!j.= I, la solution de l'équation proposée
X e^ y = Ae^— Ce-''-
3° y" -i-y = xe^ . — La solution de l'équation sans second membre jk''H-,X = o dépend de l'équation caractéristique a- -J- I = o : d'où l'on tire
a = rr / — i et, par suite,
jK = A cos^ -- B %\vix.
On essayera [)our léqualion avec second membre la solution
y =z e^{^ax -k- b ,\
l38 CHAPITRE ni.
on aura
y = e^'iax -— 6 ) -4- e^a, y" — e^(ax -f- 6 -r- a i-i- e^a, el, par siille, l'équation proposée donnera e-^{2ax -r- -ib -r-ia ) — xe^.
ou, en identifiant.
2a = i, -xa — ib = o, « = *, b = — \\ la solution cherchée est donc
y= - e^{x — i)-T-A C0SJ7 -i- B sina;.
