IX. — Méthode de la variation des constantes
Lorsque Ton veut intégrer une équation ou un système d'équations, il y a souvent avantage à négliger certains termes : on obtient ainsi de nouvelles équations plus faciles à intégrer. Les solutions de ces nouvelles équations contiennent des constantes arbitraires, et, en remplaçant ces constantes par des fonctions indéterminées de la variable, on essaye de satisfaire aux. équations proposées en déterminant convenablement ces constantes devenues variables. Cette méthode est due à Lagrange.
La méthode précédente, dite de la variation des constantes, s'applique avec succès à la recherclie d'une solution d'équation linéaire avec second membre, quand on connaît l'intégrale générale de récjualion jirivéede sonsccond membre.
Considérons l'équation linéaire
(I) X„y" - X„,7«-' ^. . .-^ Xoj = P
où Xq, X,, ... désignent des fonctions quelconques de la variable x et où r, r', . . . désignent la fonction inconnue et ses dérivées, et soit, en désignant par c,, c>, . . . , c„ des constantes,
(a; y ^ ciyi -T- C2yi -,-...— Cny,, == - c/ji
l'intégrale générale de l'équalion sans second membre
(3) X„j« -^ X„, j"'-' -:-... -^ XoJ = o.
Nous pouvons essayer de satisfaire à (i) en remplaçant j/" par son expression (2 . mais en substituant à C(, Co, . . . , C/, des fonctions de jc convenablement cboisies. Nous les déterminerons en posant tout d'a])ord
(4 ) ^ c'in = 0, ^ c'ifi -^o, . . . , s c;7f-- = o,
les accents indiquant comme plus haut des dérivées relatives à X. Ces n — i équations ne déterminent pas complètement les quantités c qui sont au nombre de /i, mais elles simplifient l'expression des dérivées de la valeur dej^ tirée de (2); en effet, en différentiant cette formule, on a
. , j / = - c-,j -, j = Z afi- f" = ^ Ci y-, Si l'on porte ces valeurs dans (i), on trouve
S a ( x„x« -- x„, jf "' - ... - x.yi) -^ 2 x„ Civr' = f ; mais,y< étant solution de (3), cette formule se réduit à
^^n - '-ly i — r
ou, en posant;^ =/(j:j,
^c\y'l-' =f{xy,
cette formule jointe à (4) achèvera de déterminer les fonctions c\, Cj, . . .< c]^, et de simples quadratures feront connaître C(, Co, . . . , c,i.
En résumé, pour intégrer l'équation avec second membre, il faudra prendre
(2) y^^ayi,
les quantités Cs^c-^, • • •, c« étant données par les formules
\ S c'iyi = 0, S Cifi = 0, . . . , S c;-7?-2 r^ o,
i4o m API T II :: III.
Caiichv a présenté cette solution sous diverses formes que nous allons faire connaître. Et d'abord, en remplaçant, dans ('2), C), Co, ... par leurs valeurs tirées de (6), on a
dx
ou, si Ton désigne par -'|. ce que devient c) quand on y remplace X par z,
La limite inférieure x^ de Tintéi^rale est d'ailleurs arbitraire et y s'annule pour ^ = J^oî eïi veriu de (5), on aura d'ailleurs
pour les valeurs entières de l'indice k moindres que n, et l'on voit que les n — i premières dérivées de y s'annuleront encore pour x = Xq. Or, pour obtenir y), il suffira dans (6) de remplacer x par z : la valeur obtenue pour c] sera précisément y,; on peut donc dire que ^ y^ yi est la valeur de
y = 'si( z, x'), obtenue en posant y = 7 c, r/. et en déterminant les constantes c de manière que, pour x :^ z, on ait
c'est-à-dire de manière que la solution de l'équation i,ans second membre satisfasse aux relations
^=0, x' = o, ..., j«-2 r= o, ;•«-» =/(^) pour X = z.
En appelant (p(v, j:) celte valeur, on a donc, pour la solution de l'équation (1),
y = f 'j>(z, x)dz ou, ce (jui revient au même,
y — I o(xq, x)dxo.
DES ÉQUATIONS LINÉAIIIES. l4l
On arx'ive ainsi au théorème suivant :
Pour intégrer V équation (i), déterminons les constantes de la solution ^c,yi de Véquation privée de son second membre, de telle sorte que, pour x ^= x^, on ait
y =o, y = o, ..., r"-^ = o, 7"-' =f(xo).
Soit 'f{xo, oc ) la valeur de y que l'on en déduit : la formule
(7) y = I f (•^«' x)dx^
sera l'intégrale de Véquation (i) cjui s'annule, ainsi que ses n — ■ I premières dérivées, pour j- = x^.
On peut vérifier cette conclusion en observant que, pour X = Xq, on a
/ do \ / d-o
^■/.<u ' \dx-/j
en différen liant alors la formule (7), on a
— 'f(Xo, X) dx^-r- 0(X, X).
Or cp(j::o5 -^o) =0, quel que soit Xq\ donc '^(vC, vC;=o, et l'on a
y = \ -j-, 'f(^o, x)dxo, ^"^ I dxi '"^^'^"' ^''^•^"'
r' f/« , , [f/"-^'s,(xo, x)i
y" =.l^ ^ '^(^«' ^'^^"»" L — dx. — J.,=...'
Si l'on observe alors que la dérivée {/i — iy'="'e Jg 0(^0, x) pour Xu = X es\,f{x)^ et si Ton porte les valeurs précédentes de V,y'\ ■ ■ . dans (i), cette équation se trouve satisfaite.
l42 CHAPITRE m.
Applicvtioiv. - On propose cV intégrer V équation
i" Par la méthode de La grange. — On intègre l'équalion privée de son second membre, et l'on trouve
y = C\ co? nx — Cisin nx\ on pose ensuite
c\ cosnx — c', ?in nx = o.
ne. sinnx -i- ne, cosnx = -■>
d'où l'on tire
(Ix.
/sin n X
dx:
nx
|)ar suite, en désignant par C| et Co deux constantes,
7 = Cl cos/iJ" -f- C-i «in nx cos
inx /^smnx , sinnx fcn>nx ,
- — - / dx — / dx.
On pourrait se dispenser d'écrire les deux premiers termes, en su|)posanl les intégrales accompagnées de leurs constantes arbitraires.
•i." Par la méthode de Caiichy. — On déterminera C, et (].. de telle sorte que, pour .r : - Xq, on ait j)' = o, y' = - ; or on a
y— Cl cos «x -r- G» sin n a*,
y' ~ — Ci/J sinna- -i- C^n co««:r ;
(Icuîc on posera
o -- Cl ros n x^^ -T- Co !=in n x^,
— — — Cl « sin nxa -i- Co n fus « j",,
DES ÉQIATIONS LINÉAIRES. 1^3
On en déduira
sinn.r„ cosna'o
(jl = 7 Cj2 = >
r'^ /cosnxu . sinnarn \ ,
y= I smnx cos/ir «Xu,
Jj,^ \ nxo nxo )
el celle solution s'annule ainsi que sa dérivée pour .r = j"o.
