X. - Théorie de Cauchy

Cauchv a fail connaître une formule qui donne explicitemenl la solution d'une équation linéaire à coefficients constants; nous pouvons représenter l'équation

d»y . rf«-' )' . .,

dx" <r/x«-i -^ J\ ■'

dans laquelle A, . . . . , A„ sont constants, par la notation

j-« — Ai^r"-'— . . . — A„jK=/0)

comme plus haut, ou svmboliquement par

en avant soin de considérer dans le polvnôme 'F(y) les exposants comme des indices de dérivation. Intégrons d'abord

el pour cela posons )' = e'-**, l'équation caractéristique prendra la forme

F( a) désignanl ce que dc-vient F(.)) fpiand on remplace ^■ par a, mais les indices |)ar de véritables exposants. On a alors

'Xi désignanl une racine de F(aj:^(); or cette valeur de t

c II A i' 1 1 m: III.

peut s ccrire

z>(z-}élanl un polyncmic enllcr arbitraire ou, ce qui revient au même,

Occupons-uoiis de l'éipialion avec second membre : à cet elTet, faisons varier les constantes; nous aurons

V c'ie^^ = o, V c',ae«'^ = o, . . . , ^ ^'r^" ' ^'^"^ =/(^). d'où l'on conclut facilement c'^e^i-^'. A cet ellet, on posera

on multipliera la première équation par ).„, la seconde par A, • . . , et l'on ajoutera : on aura

c'.e^i^l^-^^] =f(x), ou ce^i^V{0Li)=f{x\

ou

par suite

ou encore

m a donc

/-'•/([jL)p-«.[^-./;.i.

ce (pie Ton [)eiit écrire dan> le cas où I écpialion caraclérisli(pic n a pas de racines niulliples

DES ÉQUATIONS Ll.NÉAlKES. 1 45

Je dis maintenant que la solution la plus générale de la question est

lors même que Tcquation caractéristique aurait des racines multiples. En effet, il est facile de constater directement que l'expression précédente contient le nombre voulu de constantes arbitraires ; si l'on suppose, en effet, que a soit racine

d'ordre de multiplicité m de F(x), le résidu de^^;-^ e'-^' relatif à cette racine sera, en posant F(5)= H(z' (z — y.)"',

d'ii-i (s(a)

■xx

cl-jm-ï f)( a) I .2.3. . . f//z — I)

etcette expression contient, comme l'on voit, C2(a) etses m — i premières dérivées, qui sont autant de constantes arbitraires.