XI. — Recherches de M. Fuchs

Pendant longtemps on n'a possédé sur les équations linéaires que les notions exposées précédemment; mais M. Fuchs, ayant eu l'idée d'appliquer les méthodes de Cauchy à l'étude des solutions des équations linéaires, a ouvert un champ très vaste à l'étude des géomètres; on peut reconnaître aujourd'hui si une équation linéaire a des intégrales rationnelles, algébriques, etc., et l'on peut, dans un grand nombre de cas, trouver ces solutions.

Nous ne [)ourrous, dans ce Chapitre, exposer que les travaux, les plus simples et en quelque sorte fondamentaux, qui ont été entrepris sur les équations linéaires. On a fait pour ces é([uations une étude analogue à celle qui a été entre[)rise pour les équations de la forme

\^6 CIIAPIIKE III.

OÙ y^(.i') est une fonclion algébrique, quand on a édifié la tliéorie des fonctions abéliennes, et Ton comprend que leurs inlciirales constituent des transcendantes nouvelles irréductildes à celles que Ton a étudiées auparavant.

Nous ne considérerons, dans ce qui va suivre, que des équations linéaires sans second membre, puisque les autres se ramènent à celles-ci au moyen de quadratures.

Soit donc

une équation linéaire sans second membre, dans laquelle nous supposons le coefficient de la dérivée d'ordre le plus élevé égal à l'unité; p,, p^-, • • -, p,i sont des fonctions données de la variable .r supposées monodromes.

Pour calculer les intégrales de (i), on peut la remplacer par le système suivant d't'qnations du premier ordre

(•2) / dx

,yr,

dv

dans lequel r', y'' j" ' désignent les dérivées successives dej)'. Faisons varier x à partir d'une valeur initiale .r,,. et soient Vo, r^, ..., y'^'^ des valeurs cori-espondantes arbitraires attribuées à r, y'. . . .,jk"~'- D'après un tbéorème coniui. dt-niontri- (t. 111. p. i^-j), les fonctions j', j'', y''. . . . seront dévelo[)pables par la formule de Maclaurin suivant les puissances ascendantes de x — Xq, et le rayon de convergence R de la série sera donné par la formule connue

où A est le |>bis petit des modules de [X — Xq), {y — ^'c).

UES ÉQUATIONS LINÉAIUKS. 1^7

iy' — y'o)^ ■ • ■ pour lcsqucls/>ij<""'^ 4-/?2j'^"~-^ -t- • • --r Pu cesserait d'être svnectique, et où iNI est le module maximum de cette fonction quand x, j', y , y", ... se meuvent dans des cercles de ravons A ayant leurs centres respectivement en Xo,.7'o, JVo?yo' ••• 5 cette fonction/;, T^"~'^ -r. . ne |)<)uvant évidemment cesser d'être svnecti(jiie (ju'en un point critique de l'une des fonctions /^ij/'o, ... : A ne sera autre chose que la distance du point jCu au point crllicpie de lune des fonctions f i, />2; • •• • L,es points critiques des fonctions /> sont ce que l'on appelle les points singuliers de l'équation (i ).

Si dans la formule (3) on suppose que INI ait une valeur positive finie, R a toujours une valeur finie, en sorte que y existe et reste svnectique autour de tout point qui n'est pas infiniment voisin d'un point singulier.

Soit maintenant a un point singidier de l'équation, c'està-dire un point critique de l'une des fonctions/») , /;o, . , Pn- Faisons tourner le point x autour de ce point a : soit ri, y. 2, . .. ,y,^ un système d'intégrales distinctes; lorsque le point.r aura achevé sa révolution et sera revenu au point de départ, les fonctions ),, r-j, .. , yn se seront transformées en d'autres v\, y!,, . • • ■, y,i (qui pourront n'être pas toutes différentes de ri,jK2, • • •?y")6t, comme les nouvelles valeurs en question sont toujours des intégrales de l'équation (i), on aura

a,,, ^1.25 • • • 1 ''•'■an désignant des constantes.

Il est facile de voir que /e5 //?/<^',;'/v//^,s)',,)-.j, . . . ^y„reslent dislinclesqacind elles se sont Lransf or niées eny\^y'„, . . -^yl^-

En effet, on a vu (p. i^']) que le déterminant

i48 ciiAPnui; m.

étail doniK- par la formule de Liouvillc

or, />, étant monodrome, J'ptdx est de la forme

log(.r — a )^-T- <\i(x).

et A de la forme (x — a)^h{x), ^(x) étant monodrome; donc A se reproduit multiplié j)ar un facteur qui n'est pas nul, après une rotation de x autour do «; s'il n'était pas nul avant la rotation, il ne sera pas nul après.