XII. — Équation fondamentale

TiiÉonÈME. — On peu L loujoiirs traîner un système c,. Co c„ (le constantes telles, que la valeur de y

( 5 ) y — Ciy^ -.- c-iY-y -^ . . . -T- c„ya

se transforme en une autre y' liée à y par une équation de la forme

M désignant une constante, a/j/ès une rotation de x autour du point singulier a.

\Ln ofl'et, (piand x a efTectué une rotation autour de <7, v,, y.y, . ■ . ly,, se sont changés en y\ , y'.,. . . . , y]^^ et Ion a vu que

y\ -= an Vi— a,2r2-4-...^aj„j-„,

on a en onire, au lieu de i'cMpi.ilion (5),

y' = c, j'i -4- 6-2 J-; -^ . . . -r- C„y'„ ou, en vertu dos étpialions précédenlcs.

/ ^ yi{ ^1 1 c, -f- a, 1 C2 -- . . . ) -^- 72 (. 3ti2 c, -T- a22 C2 — . . . ) -^ • • • ;

pour que l'on ait r'= wj', il suffit de déterminer c,, c^, • • • , tu au moyen des équations

I ( a,i— w )Ci-4- a2iC2— ..-^a„,c„ = o, 1 a,oCi-T-( a.52 — w )c.j — . . . -4- a„oC„ = o,

L'élimination des c donne l'équation (8.) û = o,

dans laquelle

j a,,— Oi 7.21 ■ ■ ■ ^/;l

^ I ail a.)o — co . . a,,.7

Cette équation est V équation fondamentale, Q est \ii fonction fondamenta le . Lorsque l'on aura résolu l'équation Ci = o qui est de degré ti, on en déduira n valeurs de (o et n systèmes de valeurs correspondantes pour les constantes c; n intégrales jouiront alors de la propriété exprimée par l'équation (6). Il convient maintenant de soumettre l'équation Q ^ o à une discussion approfondie.

L'équation Q =; o ri a ni racine nulle ni racine infinie.

En effet, le coefficient de (o" est ( — i)"; (juant au terme indépendant de (o dans.li, il est égal au déterminant

qui, on l'a vu Tp. i-îi), n'est pas nul. Mais l'équation en question peut avoir des racines multiples.

Les racines de l'équation Q. —- o, et par suite les coefficients de cette équation, sont des invariants ; ils ne dépendent pas du choix que l'on a fait du systijnie d'intégrales distinctes y^ , r^? • • • -, yw

JOO cil A PI THE III.

1) «^st, on cfTot, le tlétcrniinanl des fonctions linéaires

si aii\ variables 1, , v>, • • . .>'« on en subslitue d autres ^i, Z--2, • • • , :•,/, fonctions linéaires et homoj^ènes de celles-ci, la nouvelle valeur de Q sera égah; à Fancienne, à un facteur [)rès, ce qui démontre la proposition énoncée.

Supposons niainlenanl que V équation Q = o ait toutes ses racines distinctes : appelons-les co, , (Oo, .... o)„, on aura alors n intégrales y,, y-^, • • -, y^, donnant lieu à des équations

y'i = fJi j'i , jK'2 =^ waja, . • • , /// = w„jK« ;

ces intégrales seront distinctes.

En effet, sil existait entre les )' une relation de la forme «iJKl — «'2j'2 -i- . . . — anyn = o,

<7, , rto, • • • désionanl des constantes, en faisant tourner le point .r autour du point singulier, on aurait successivement

rt,(o,jKi--rt2W2 r2— • • ■■^'cin^^nyit -= o.

d'où l'on conclurait

■"-1 fi" 1

ce qui ne saurait avoir lieu si Q = o n'a pas de racines égales. .Mniulrnant j)osons (o, rrr <?'-^ '''1; on aura

y\^rie^-^^-^'^., el,si I ni) coii'^idric |;i fonction Vi (x — d) '^i,olle se changera

DES ÉQl'ATIONS LINÉAIRES. l5l

par une lotalion du point x autour du point singulier a en elle-même ; cette fonction est donc monodrome, et, en la désignant [)ar ':;,, on aura

les intégrales de Inéquation (i) peuvent donc se mettre, dans le voisinage du point a, sous les formes

ces intégrales sont distinctes et o^, -jo, . . . , c;,^ sont monodromes autour du point a.