XIII. — Cas où l'équation fondamentale a des racines égales

On a vu (p. 8) que les intégrales des équations différentielles sont des fonctions continues des paramètres contenus dans ces équations et que ces fonctions ont des dérivées bien déterminées, sauf en des points singuliers.

Imaginons que les coefficients de l'équation fi) renferment des paramètres variables, et que l'équation 0 = 0 ait toutes ses racines inégales pour des valeurs quelconques de ces paramètres, mais que ^^i^ devienne racine multiple de Q = o, pour des valeurs particulières de ces paramètres.

Les paramètres étant quelconques, l'équation (i) aura n intégrales distinctes qui, dans le voisinage de a, seront de la

forme

{x — a/'içi, (x — a)^'jo.2, ....

Faisons varier les paramètres de manière que ojo tende vers w, et, par suite, k-^ vers k\ : on pourra remplacer l'intégrale {x — a)*i ©2 par la suivante

(x — ny^^i'^i — { X — a )''t o I A ( J7 - « )^'i cp I la limite de cette expression est

l'intégrale qui disparaît par l'Iivpotlièse Ao=/>"i se trouve alors remplacée par l'expression précédente, ou

Si trois valeurs de A devenaient égales à A',, on adjoindrait aux deux intégrales

[dox 1

T/T ~ oi'og( J" — a)

la suivante

A^Oj (.r — /'/ )^'i lim- '

AU-, on

et ainsi de suite. Il résulte de là que :

Dans le voisinage du point singiilici- a, jxnir lequel a racines de Q ^^ o sont égales, on a ul intégrales distinctes de U équation (i) qui sont de la /orme

{x — a)^f Oq-^ 'f l'ogl -^ — «» — ... Ou. log!^(.r — «)].

c3o, '^). ... désignant fies fonctions ninnodronies en a.

Remarque. — vSi l'équation i i ) a une intégrale de la forme

(tc — a)^[oo — «pi \o^ix — a) --o.i\o<j,-{x— a ) — . . .-^o^\osy-(x — a)],

cpo, 'J( , . . , étant nionodronies en a, elle a aussi pour intégrale o^i^x — «)*, car a est alors un [)oint singulier et elle a une intégrale de la forme csi'.r — ay\ et, comme l'équation û r= c> a une racine d'ordre a, il v aura une solution de la forme cidessus dans laquelle c^y. sera égal à o.