XIV. — Démonstration d'un lemme

Soient '.5,,^,, .... cp,y. . . . des fonctions de x qui n'ont pas le point a pour pniitt critique, r,, c>, ... des constantes.

DES ÉQUATIONS LINÉAIUES. l53

/.-,, /,;., . . . des exposants dont les différences ne sont ni nulles ni entières, la formule suivante ne saurait avoir lieu, quel que soit x,

c<,(x — « )^"2[ou2 — Oi2 logi .7? — a)-h-. . . — ç^2 log?(:r — a)]

— Ch{x - a )*■'■[ 'fo/i — 'fiA log(.r — rt ^— . . .— '^,./, logTfa--- a)] — o.

En elFet, faisons tourner le point x h fois autour du point «; après chaque révolution, léquation précédente sera encore satisfaite, et, si les constantes c ne sont pas toutes nulles, il faudra que le déterminant de leurs coefficients dans les équations dans lesquelles se transformera l'équation précédente soitnul;or, à un facteur près de la forme '^ — a)i^, ce déterminant est un polynôme entier en \o^(x — a) dont les coefficients sont finis pour jc = «, et dont le coefficient de la plus haute puissance de log jc — a) n'est pas nul : le déterminant en question ne saurait donc être nul et la formule (a) ne saurait être identique.