XV. — Intégrales régulières

Une intégrale /■e^7//f'è/Y? en a est une intégrale de la forme

Cl (37 — «/'-.[oiji — o,, log(a7 — a)— ç-i-ilogH-r — a)-^...] -^ c^ix — a A->['Jo2 -^ 'fi-a \oç:( X — a^-^ O2i\o%-{x — a)-i-. . . |

dans laquelle r^, c^. ... sont des constantes cl csqi, '.^ii, - • . des fonctions monodromes qui n'ont pas le point a pour point essentiel; on peut alors supposer les exposants A",, /lo,- . . . , tels que les fonctions O|o, '^n- - • • ne soient pas infinies pour ^ = « et, par suite, que le point rt ne soit même pas pour elles un point critique.

Nous dirons qu'une intégrale est régulière pour le point à

l'infini, quand, en y remplaçant x par-» elle est pour le

i5'i ciiAPirui: m.

point o régulière par rapporta ré(|uation transformée obtenue

en remplaçant dans la proposée x par •

T/iiilégrale

«/'■[«„ -i-'filogCa- — a)4-. ..],

dans laquelle c3o, '-^i, ... ne sont plus infinis, ni tous nuls pour^ = «, est dite apparlenir à l'exposant le. Nous supposerons dans la suite que les coefficients ps, p-i, • • • de l'équalion différentielle n'ont pas de points essentiels et qu'ils sont monodromes : leurs seulspoints critiques seront donc des pôles, c'est-à-dire des infinis d'ordre entier et fini au point n\ on aura donc

Pi =

Vi désignant une fonction monodronic, monogène, finie et continue dans le voisinage de a, et différente de zéro pour j7 = a, et a/ désignant un exposant entier et positif.

Nous allons maintenant chercher la condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation linéaire ait ses intégrales régulières.

En premier lieu, l'équation

dv a pour intégrale

si l'on met/?, sous la forme

0 ne devenant plus infini pour x ^^ a, on voit quejK est de la

forme

'l(j?) désignant une fonction svnectique en a. Cette intégrale

sera régulière si p^ est de la forme - — ^~ ■, P| étant fini pour

DES ÉQUATIONS LINÉAIIÎES.

En génér;il, soil

■Pnf

une équation qui ail ses intégrales régulières en «; />,, /?o, . . . étant censés monodromes en a et sans points essentiels. Si elle admet les intégrales rs,yy-, • • -, y m on aura, en dénotant les dérivées à la manière de Lagrange,