PO

et, par conséquent,

./ Il

" nW-1

y /t J II J II

r'i ■■■ ji

j II

Les déterminants qui servent de numérateur et de dénominateur 'A Pi sont multipliés par des constantes quand x tourne autour du point a ; car cette rotation produit sur les variables cogrédientes y^ , y., . . -, y\,y'.,, .... ./, , y'.,, . . . une substitution linéaire; les déterminants en question sont donc de la forme (a; — a)^6(xi et (x — a)v-i à t ( x) , ^{x') et •y'i(x) désignant des fonctions monodromes sans points essentiels en a et, par conséquent, si l'on veut, ne devenant pas infinies pour X = a.

Mais les fonctions j-,, yo- • • sont de la forme

yi = (^ — (i/'''l'ioi— 'fi/logCa- — ai-^.. .];

si on les substitue dans les déterminants qui figurent dans l'expression (i) de /)/, les termes logarithmiques doivent disparaître; on peut donc en faire abstraction en estimant l'ordre infinitésimal de/?,; à ce point de vue, on voit que le numé-

i56 ciiAPiTRi: III.

râleur cl le tlénoniinalcur tle pi ne différant que par une

colonne,/?/ sera d'ordre /, cl, par suite, on aura

Pi^ 7

Vi désignant une l'onction (|ui ne devient pas infinie pour X ^^ a. Ainsi :

Une équation linéaire qui a Loules ses intégrales régulières en a est de la forme

d'^y ^ Pi </"-^'jK , Po d'*-''-y ^ V„y

dx" X — a dx"^-^ {x — af dx'^~'- {x — a)"

P,, Po, .... P// désignant des fonctions pour lesquelles le point a n'est pas critique.