XVI. — Équations dont les intégrales sont régulières

Considérons l'équallon

dx"^ X dx"-^ X- dx"-

dans laquelle 1^|, P-i. ... sont nionodronies et monogènes

autour de Torigine; nous allons voir que, si l'origine n'est

pas un point critique pour ces fonctions, l'équation (\) a

toutes ses intégrales régulières à l'origine.

Soient

I l\ = boi-.' biiX~bijx'^-+-

(■?.) ^P. = bo,-^bi.X-^b22X'--^....

Posons

('5) y ^.^ CoX^-^ Cix^+i^ c,x^+--i-

et, sans nous inquiéter pour le inomenl de la question de convergence, cssavons de satisfaire à ( i) en dc'lenninant convenal)lement r„, c,, r.j, ... et a. En portant dans (\) à la place de P,, P^, ... et de y leurs valeurs ( ■^). (3), on a,

en faisant iisaçe de la notation A"^ pour désigner le produit m ( m — \ : ... { m — /i -u i ) ,

n divisant par x'^ ", on peut encore écrire

i -^( A^"-Co- A5X^c,a7-t- A!J~^c.2:r- — . . .)(6o2-- ^12^ — ^îs^^^- — . • ■)

En égalant les coefficients des diverses puissances de x à o, on a

( A^ - kl-' 6,„ - A"-' 60-2 -..., = o,

Co^.'^a^- '^-a

ces équations (5j sont linéaires et homogènes en Co, C|, Co, ...; la première contient Cq, la seconde contient r„ et Cj, la suivante Co. C( , Co, . • • • Si donc on veut que Co, Ci , c->, ... ne soient pas nuls, il faudra déterminer a au moven de l'équation

(Gi A^-^Ar'^oi-...^6o„ = o,

laquelle est de degré 11 et fournit /^ valeurs de a, égales ou inégales; ces valeurs ne sont pas infinies, puisque le coefficient de a" est égal à un. Si l'on choisit c^ arbitrairement,

— , —y ••• seront alors déterminés de proche en proche par

les équations (5).

Il faut remarquer que le cocflicient de c, dans la seconde équation (5) se déduit du premier membre de (6), en changeant a en y. -7- i . . . . , en sorte que les équations (5) seront comp;itibles si, a étant racine de (T) i, a -r 1 , a -f- 2, ... ne sont pas racines de cette équation. Nous le supposerons.

i58 en A PI tri: m.

Alors Co, Cil • • • pourront être déterminés de manière que la valeur (3) de y satisfasse à l'érjuation ( i). Mais nos conclusions supposent essentiellement la série (3) convergente : nous allons voir ([u'elle l'est efifectivement pour des valeurs suflisamment petites du module de x.

Rejnplaçons dans P,, Po, ... les coefficients de x, x-, x^, . . . par leur module maximum 13 [)ris en signe contraire^ les modules de Cq I r, : r^ ; . . . ne pourront que croître (le module maximum B ne sera d'ailleurs pas infini, car on peut toujours supposer les rayons de convergence des séries P,, P^, ... plus grands ([uc i; s'ils ne Pétaient pas, un simple changement de x en hx amènerait celle circonstance, et l'on raisonnerait sur l'équation ainsi transformée): les équations (4) sont alors remplacées par les suivantes, où l'on peut supposer mod j" ^^ I ,

A S Co -t- A 'â i i c 1 :c -f- A x^.2 Co ar2 — - . . . Si l'on mulliplie j)ar i — x, cette équalion devient

(AaCo-i- A'â+iCi.r -1-. . .)(l — r)

-!- (Aa'Vo — Aa+lciar-h. . .)(6oi — B -^ /^oi^;) -i-(Ax~'co-+- A'û+\ciX-h.. .)(6o2— 1^ -T- b^,.2x) -+- =o;

en identifiant, on a

C/j-i-i \ X-j.-hp -^ b^)^ \ai-i> -r- ^02 Aa-(-/) -^ . . .)

— C/,(A'i4.,,i-r- B -H b„iA"xlp-i-r- B -+- 6ooAa+^,, -t-.. .);

el, SI I on [»ose

/( a) = Ax -^ /\n A'â"' -r- f^,. .\'i~- -r- . . . .

F, ^ »n— 1 art-?

(a)= .\a-iH- Aa-i-

ou a

c,>+ifi^-^P)^^ C/,[/(a-i /> — i)-i- \iF{u^p — i)];

DES ÉQLATIONS LINÉAIRES. lOQ

on en lire

c,,-h\ /(g -T-p~ i)-t- BF(,a — p — i) Cp ~ f{^^P)

Or /(a) et Fi a) sont des polynômes de degrés n et n -^ \\ quand leurs arguments a — /? et a -f-/? — i deviennent infinis,

—— tend vers l'unité : la série dans laquelle se développe y

Cp

quand on a changé x en hx a donc pour rayon de convergence une ligne au moins égale à l'unité. L'équation (i) admet donc une intégrale régulière à l'origine. Si/(a^ = o a des racines à différences entières, il faudra que a soit la [)lus grande de ces racines, afin que /(a + i), /'(a -\- i). ... ne soient pas nuls; si l'on effectue le changement de x en X — rt, on peut énoncer le théorème suivant :

Si P(, Pon . . . , P„ sont des fondions svnectif/ues autour du point a, l'équation

d'\y Pi d"-^y V„

dx'^ X— a dx"-^ ' •■•"^ (^x — ay ~

a au moins une intégrale réiiulière autour du fioint a.