XVII. — Continuation du même sujet

Nous venons de voir que léqiialion

^^' dx"- ' X dx'^-*^'" ' r""^

a une intégrale régulière à l'origine; désignons par y, celte intégrale, et essayons d'abaisser l'équation (i). On jiose pour cela

u se trouve alors être égal à -r- — > et, si « a une forme régu-

" dx yi °

j6o cil a pi IKK lli.

iirre, la valeur correspondanlc dey sera régulière. D'ailleurs // est donné par l'rfiuation

(/"-'» (ji d" '^u , ^ Q„

*>Ji> Q2, ••• désignant des fondions synecli(jnes autour de l'origine; niais le coefficient r„ dans y^ est différent de zéro, l'équation (2) est donc de inèine forme (|ue (1), et elle a une intégrale régulière j'o ; on l'abaissera coinine(i), et, en continuant ainsi, on voit (jue (i) a toutes ses intégrales régulières. ()ii peut donc énoncer le théorème suivant :

Poiii- (/lie r ('([iialion

dÈ^'-P'^L^^^-^-'-P"^'

ail toutes ses ititégi-ales régulières en a, il faut et il suffit que l'on ait

Pi P2 P«

P,, Po, . . . désignant des fonctions synecti<iurs autour du point a.

Pour (pi'clle ait partout ses intégrales ri'-guhères A laut alors que

'^-j{x) désignant une fonction de la forme [x — <^i }{^ - f^) ■ lorsque le point a rinfini n'est plus critique et P(, Po, . désignant des fonctions partout s}nectiques.