XVIII. — Intégration des équations à intégrales régulières

Soient

i'i-^ boi^ On{x — a)-*r- b.2i{x — a)'- —. . .,

1*2= ^02-^- biî(x — a) -^ biiix — a)2 -I-. . .,

DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. l(il

a, hi désignant des constantes : considérons l'équation

^ ' dx'>- X — a rfx"-*

pour intégrer cette équation, on posera

y — c^(x — a)'^— c\(x — «)=«+' — Cyi'x — a)*''+2^

L'équation (n deviendra alors, en di\isant par (j: — a)'^~",

Xlc - k''^^,c,{x - a) -^ kl^.cJx- «)2 -. . .

-- [ A'^- 'c, — AJ-'iCi ( 27 — « 1 — ...][ 6oi — 6,1 (^ — </) — ... I = ()

où A5 est le nombre des arrangements de a objets pris n à n ; en égalant alors à zéro les diverses puissances de j: — a, on a des équations qui feront connaître a, Co, '^"i ? ^2? • • • • La constante Cq est arbitraire, et a est déterminé par l'équation suivante, obtenue en égalant à zéro le terme indépendant de

A?^-Ar'6o,-A^-2 6o2-... = o

ou, en appelant /'(a) le premier membre,

Celte équation a reçu de M. Fuclis le nom ^équation fotulamentale délenninante. iNous allons en l'aire connaître les propriétés :

Théorème I. — ■ Les racines de V équation fondmnentale déterminante sont égales aux logarithmes des racines de V équation fondajnentale divisées par '.i~\J — i.

En elFet, nous avons vu que, si e-~^ ''^i, e-~v'«;, . . . étaient les racines de l'équalion fondamentale, n intégrales distinctes se mettaient sous la forme

et l'équation déterminante a précisément pour objet de déterminer a, , ao, ....

l62 CH.Vl'lTKi: III.

Théorème II. — Si dans réquation proposée (i) on pose elle prend la fofnie

dx"^ ' X — a dx"-^ (x — a)"

et, quand on fait x r= a dans Q„, Q«(«) devient prccisémcnl le premier /nend^re de Véqualion déterminante.

En efTel, on trouve

Q„ — A^ -t- -\.'^~ Pi -- A5^~'P2 -f- . . . -^ P„

et par suite on a

Q„(a)= Aâ-T- A'â~'6oi-^- Aâ~"^o2-^--. = /(3')-

Il nous est impossible, dans ce Traité, de tirer des théories précédentes toutes les conclusions que l'on en a déduites : bornons-nous à faire observer que, si une équation de la forme (i) a une intégrale rationnelle, on pourra la découvrir : les équations déleriuinantcs auront alors une racine entière, et, en nuilti[)]ianf les solutions par x — a élevé à une puissance convenable, le point a cessera d'être critique pour une intégrale; on pourra ainsi, par des multiplications, par des binômes convenables, rendre une intégrale entière; d'ailleurs la méthode des coefficicTits indéterminés fera connaître la solution.