XIX. — Équations linéaires à coefficients périodiques
Si les coefficients d'une équation linéaire sont périodiques cl ont j)our période to, cette équation ne change pas quand on change x en x -\- to. Soient n l'ordre de cette équation, c',, c-ii . . ■ , c,i des constantes arbitraires : Tiiitégrale générale se présentera sous la forme
ci/i{-r)-c.f.>{x)^...'^c„f„(x);
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f\.fi. . . . désignant des Intégrales particulières, mais distinctes; mais, m désignant un entier, si/, (x) est une intégrale, fi ( X -r /«oj) sera encore une intégrale, et, par suite, on aura
et l'on pourra écrire
/l(a7-M.j) = CH/l(ar)- Ci2/2(.r) -^...— C^nfnix), /i(j: — 20J) = C2,/i(j7) -^Ci2f2{x) — . . .— C^n fni x),
flix— nw) := Cnifi(x) — Cniflix)-^. . .-hC„„f„(x),
^'hj ^12, ... désignant des constantes. On en tire
(i) fi(x)= Xifi(x-^uj)^Xi/i(.v -^im) + ...^ Anfi(x -^ noi),
A), Ao. . . . désignant des constantes. Cette conclusion serait en défaut si l'on avait \rir: c, ,, c-,-,^ • • • ; Cn,i^= o ; mais alors il V aurait une relation linéaire entre/, (:r), . . . , f„[x). Cela posé, considérons l'intégrale
^2) /(.r)= Gj/i(x)-hGi/i(3'4-oj)-f-...-^G„-i/i(.r-f- n— (w),
dans laquelle G«,, G/,2, . . • peuvent être nuls s'il v a une relation linéaire entre les/, {x -\- voj) : on aura
/('.r-^co)=Go/i(.r-f-io)-+-Gi/,(:r-h2w)-r-...-i-G„i/(j7-4- nw)
mais, en vertu de (i), la formule (2) peut s'écrire
/(g)^/i(^^tu)(G,-f-G,Ai)-^...
-\- fi{x -^ n — nsi){G,i-i-^ GoA„,)— GoA„/,(x-f- nta).
Si l'on pose alors, en appelant g une constante,
/(a7-hw) = ^/(.r), on aura, pour déterminer Gu, G,, ... et g^ les formules
Go = o (Gi-^ GoAi), G, = .^'(Gi-f- Go A2),
l6^ CHAPITRE III.
OU
I Gi-^GqAi g» -^ Go Aj GflAn^
S Go Gi G„i
ces équations dclermlncront g et les rapports Gq I G, : ... ; ainsi, étant donnée une équation à eoefjicients périodiques, il existe une intégrale f(^x) telle que
(3) /{x -^ w ) = ff/{x),
g désignant une constante et hi la période.
Si les coefficients étaient doublement périodiques et aux périodes w, ttj, on aurait également une relation de la forme
(4) /(x-7ni=A/(^),
Ji désignant encore une constante.
Ce résultat a été établi, pour la première fois, par M, Picard [Journal de C relie, t. 90); il a en outre démontré que Von pouvait former un système distinct d'intégrales jouissant de toutes les propriétés exprimées par les formules {'6) et (4)- Pour établir cette proposition, il suffit, étant admise l'existence de la fonction f^x), de remplacer la fonction inconnue r par
7 =/(>r) / zdx;
Téqualion en z sera encore à coefficients doublement périodiques et aura aussi une intégrale f{{x) jouissant des propriétés (3), (4); d'où l'on conclut pour )■ la valeur
/(x)J /i(x)dx,
qui devieni, en changeant x en x i- to,
^i{-^)S'idx = ffffi/{x) I fi{Jr)dx,
A^)^fA
et ainsi de suite.
l'oui- iiiléyrer l'écjualion, lorsque ses intégrales sont mono-
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dronies et sans points essentiels, on peut procéder comme il suit :
M. Hermiie désigne sous le noux àe fonctions doublenirjit périodiques de seconde espèce les fonctions qui se trouvent multipliées par un facteur constant quand on augmente la variable de périodes w ou ra; il réserve le nom àe fonctions doublement périodiques de t/oisiènie espèce à celles qui, par l'addition des périodes à la variable, se trouvent, comme les fonctions auxiliaires de la théorie des fonctions elliptiques, multipliées par une exponentielle à exposant linéaire; les fonctions de première espèce sont alors les fonctions doublement périodiques ordinaires.
Cherchons d'abord l'expression générale des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, monodromes et sans points essentiels.
Appelons 2K et 2K'y/' — i les périodes : il s'agit de trouver une fonction F(j:), monodrome et sans points essentiels, satisfaisant à la fois aux deux équations suivantes, a et [x désignant des constantes,
(i) F(:r^2K)= !xF(;r), F(.r -i- aK'y/^) = I^' F(^)- Posons
y. et ^ désignant deux constantes et H la fonction auxiliaire (jui sert de numérateur à snx. En vertu des formules
on aura
f[x-r-iKW-i}=f(x)e 1^ ■ "^
i66 ciiAPiTiu; m.
on pciil (.létorniincr a et |j au mo}en des formules
.JL =: e-i-"^, |X =: e "^ ,
et alors on aura
si l'on considère alors le rapport " > on voit qu'il aura pour
périodes 2K et aK'y'' — ^i. Ainsi l'expression générale des fonctions de seconde espèce sera le produit de f{jc) par une fonction aux périodes aK et yK\ — i. Mais on peut ohlenir sous une forme plus simple l'expression générale de F(j:) ainsi qu'il suit :
Le produit
considéré comme fonction de :;, a pour périodes 2K et 2K\/ — I : la somme de ses résidus pris à l'intérieur duu parallélogramme des périodes est nulle; or, en appelant ^/,, a^, . . . , les infinis de F(;) et le seul infini de/(^' — :•) étant X, on a
(3) o = ^fj(z)fix--z)-^J(z)/{x~ZK
Or r /(:; — ^)F(g) est égal à
et
r ¥iz)/{x-z) = [UmV{z){z-a)],^aA-r-a)
si a est un infini simple, sinon T ¥[z)/{x — -) est de la
forme
\/(x — a)-r- B/'Cj" — a)-f-...,
en sorte que l'expression générale d'une fonction de seconde espèce sera, en vertu de (3),
A, B, C, ... désignant des constantes, et «i, a^, ■ • • les infinis contenus dans un même parallélogramme des périodes. C'est en s'appuyant sur cette formule, due à M. Ilermite (Siw quelqi/es applications des fonctions ellipticjucs, p. 5), que l'on parvient dans certains cas à intégrer les équations linéaires à coefficients périodiques : nous allons en donner un cxeznplc.
