XX. — Équation de Lamé

Lamé a rencontré dans une question importante de Physique mathématique [Équilibre des tenipéralures de V ellipsoïde) une équation linéaire du second ordre qui a acqnis une grande célébrité : cette équation s'est d'abord présentée sous la forme

y est la fonction inconnue, A est la variable, g et h sont des constantes; enfin on a

fÇk) = {l -i-a2|(X-^62)(X-^c2),

a, b, c désignant de nouvelles constantes.

Nous commencerons par transformer cette équation en

posant

nous aurons alors, en faisant

0 (z) = (x;2 — aï -^ 62 |( ^2 «2 -t- c2),

l68 CIIAI'ITHE m.

les Iran s formée s successives

f' r /icr^ <'y^ » ' ='- - «' ' -^ /'

é([uati<)n qui est de la forme

^'" et // désignant toujours deux constantes din'érentes de celles que l'on a désignées ainsi tout à l'heure. Si l'on pose alors

r' dz

;: = sn ^,

1 équation de Lamé, en la prenant sous la forme

devient

d l dv \ 7

dz\dx) sl^{z) OU enfin

c'est surtout de l'équation

(jue les géomètres se sont occupés, n désignant alors un nombre entier.

Pour intégrer celle équation, nous changerons de variable cl nous poserons

DES ÉQl ATrONS LINÉAIRES. 169

elle deviendra alors

Il ( n

hy = o.

Nous poserons donc

G, a, [3 désignant des constantes, j' peut se développer suivant les puissances positives et négatives de s et, en choisissant

convenablement G en le prenant égal à -rj- — - , on pourra supposer que le terme en - dans / a pour coefficient i : on aura

alors

I A| A.2I.2 ^^ Av I .'^.S. . . V

r, désignant une quantité finie pour î = o et /^o, />j. • • • des

coefficients constants. Remplaçons j)^ et — — P^^' ces valeurs

dans (2), il suffira d'exprimer que, pour £ = o, le premier membre ne devient pas infini et qu'il est nul ou que les coefficients de s", £""', z~-, ... sont nuls; car ce premier membre, étant doublement jiériodique de seconde espèce, est constant s'il n'a pas d'infinis.

Remplaçons donc y et — — parleurs valeurs dans( >.), mulli-

plions par £- ; nous aurons

I . î A 1 2 . 3 Av 1 . 2 . 3 . . . ( V -f- 9. )

— ln{n -~ i){\ -T- Pot- -^ Pii'' -h . . .) -^ ht-] I Al , Ayi .?. . . V ,

ë ~ 1^ "^ • • • — T/^ïl ■ ■ ■ j '

en n'écrivant pas les termes inutiles. En égalant à zéro les termes en t-, z, î", . ., s~<"'+'\ on trouve

1 . 2 . 3 . . . ( V -i- 2 ) A., = 1 . 2 . ') . . . V Av « ( « -f- 1 >,

1 .2.3. . .1 V ^- i)Av i = 1 .2.3. . .(v — I )Av-i ri( n ~-i).