XXI. — Étude particulière des équations du second ordre
Les équations linéaires du second ordre, sans second membre, jouissent de propriétés curieuses qui ont été révélées surtout par Sturm, et dont nous allons faire connaître les principales.
Nous avons vu qu'en posant^ = J't ->JKi étant une solution d'une équation dilTérenticlle linéaire en y et sans second membre, l'équation s'abaissait sans perdre sa forme linéaire ; mais on peut abaisser encore autrement l'équation (juand elle est du second ordre.
Considérons, en ellet, ré(|uation siii\anto, où A, B, Csont des fonctions quelconques de .r,
(/xi dx ''
si yi est une solution de cette é(|uation, on a multipliant ( i) parj', et (2) par j', puis retranchant, on a Si alors on pose
dx^ dx
ou (p. 59)
7i ^(r —y dyx ,
dx
Ç'iyt p - Çflxi
J 71 ou
on a
ou
ou enfin
z = eJ ^ Y = Vi I —^ e '^ ^ dx.
Théorèmk t. — La fonction y déjî nie par L'équation (1) n'a que des zéros simples, si — reste fini.
En effet, réf[iiation ( 3j devient, en remplaçant :; par sa valeur,
^^^ ^ dx ^" dx
dyi dy ~ f - <ix-
Pour qup l'on eût y = o, ~ = o, il faudrait que y fût infini ou que ji ou -— le fussent.
Théorème II. — E/i général, deux solutions y et y i ne
1J2 CIIAPITRF. Iir.
pourron! pas s'annuler en même temps, et leurs racines se séparent mutuellement (quand on les suppose réelles ainsi que x).
La première ])arlie de ce lliéorème est évidente, en verlu de (5) : si l'on fait alors ^ = a et r = i3, a et ,3 désignant
deux racines successives de j', ==0, -— prendra des valeurs
de signes contraires; donc, en vertu de (5), comme le second membre de cette équation est positif, il faudra que )' prenne aussi des valeurs de signes contraires ; donc entre deux racines (\.ey^=■o, il Y en a une de y ^=0, et entre deux racines de yz=zo^ il y en a une de >-, = o. Mais cette conclusion est soumise bien entendu à des restrictions qui dépendent de la continuité des solutions considérées.
Théorème JIl. — L'équation (1) peut toujours être ramenée à la forme dite canonique
X et \ désignant des fonctions de x seul. En effet, cette équation développée est
f/j-2 '^ dx dx '^y -°^
et on l'identifiera avec (i) en posant
~dx
d'où l'on tire
X = Cl' A ^ \ — (»t' A
Théorème IV. — S il' on met en évidence un paramètre n. l'équation canonique pourra s écrire
/ • d I ^, dy\ ^,
DES ÉQLATIONS LINÉAIRES.
si L'on change n en n^, on a la nouvelle équation
dx \ dx
les fonctions y et y ^ satisfaisant à ces éciuations, donneront, en supposant la variable réelle,
/ yxy\dx=:^o,
a et 3 désignant soit deux valeurs annulant X, soit une valeur annulant y et une valeur annulant y ^.
En effet, en multipliant (^) par j'i et (8) parj', on a par soustraction
^ d^^ -^Tx—^ -('W-«.rn;\:^o
ou bien
d dx
[^- ^ J=(.,-«)jj,V.
En prenant pour limites d'intégration les nombres a, ^3 clioisis comme il a été dit, on a
o = (rt — «i) / yyi\ dx,
et, comme n — /?,^o, le tbéorème précédent est démontré. Théorème \ . — Entre les mêmes limites, on a encore
dx dx
En effet, multipliant (-) par n^y^ et (8) par ny^ puis soustrayant, on a
d fy- ntyidy — nydyi \ dy dy, ,
l'intégration donne la formule (ju d fallait démontrer.
1^4 CnAIMTRK m.
TiiF.oiiKMK ^ I. — On peut toujours ramener Inéquation linéaire du second ordre à la forme
G désignant une fonction de x seul.
En effet, considérons réquallon
si nous faisons y = /:;, nous aurons (p. lai el 122) . d'^z ( . dt ^ \ dz / , d^ t ,, dt ^ \
l'équalion sera donc ramenée à la forme voulue, si l'on dispose de /, de telle sorte que
A dt 2 A -i- -1- B ^ = o
ou que
Lorsque l'équation a la forme canonique
alors
cl il faut prendre
XXII. — Invariants des équations différentielles. Considérons une équation différculiellc linéaire donlrc /i :
Di;S ÉQUATIONS 1. 1 -N É A I R K S. 175
dans laquelle Y désigne la fonclion inconnue, X la variable el P|, Poj • • • 1 P« tics fonctions de X. Si l'un pose'
il est facile de voir fjue l'équalion (i) se transforme en une autre équation linéaire du même ordre
(in y d'^~iy
Nous démontrerons qu'il existe des fonctions de P,, P^, . . . et de leurs dérivées par rapport à X, telles que, l'une d'elles étant F(P,, Po, .. ., P;, P;, ...), on a
Ces fonctions F sont des invariants, et, si w = o, on a ce que l'on appelle un invariant absolu.
Le nombre des invariants distincts est nécessairement limité : en effet, une équation telle que (4) établit une relation entre les P et les p; or, quand les P, z» et <!/ sont donnés, les p sont déterminés; il ne peut donc exister entre ces quantités plus de n relations distinctes; les formules, telles que (4): sont donc au [)lus au nombre de n ■ — i et, si l'on suppose co = o, au nombre de n — -3. au plus. Ainsi le nombre des invariants absolus distincts d' une équation linéaire d'ordre n est au plus égal à n — 2, et les équations d'ordre inférieur à 3 n'ont pas d'invariants absolus.
Si l'on considère une équation linéaire du second ordre
I 5 ) z" = az' -~- 1} z,
dans laquelle z désigne la fonction inconnue, x la variable :;', s" les dérivées de ^ et «, b des fonctions données de x, et si l'on pose
(6) y^zn-^,
