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on Iroiivc

, (il y

et, en coulinuant de dlirérenlier en reinplaçanl toujours g' par sa valeur tirée de (5),

^ ' dx"-

réliniinalion de c"~', .3"""'^', . . . entre ces équations iournil une équation linéaire d'ordre n en y. Il est facile de déduire ses solutions de celles de l'équation (5) : appelons en effet ^, et ^2 deux solutions distinctes de (5) ; l'équation en z sera satisfaite en prenant z=. C\:\-t- C2~■.^, Ci et Co désignant des constantes, et l'é(juation en y le sera en prenant

et, par suite, en prenant

c',, c.,, c", , c'^, ... désignant de nouvelles constantes arbitraires, et, par conséquent, en prenant y égal à l'une des quantités ^'/~', z'[~'- z-^^ ..., qui seront autant d'intégrales distinctes de cette équation; les intégrales distinctes de l'équation en j^ peuvent donc être mises sous la forme

yu y-i^yif, y-i-^y^f^, ■■■, yn^yit"-^.

Réciproquement, si une écpialion linéaire et homogène d'ordre n admet des intégrales de cette forme, elle se transforme en équation linéaire homogène du second ordre en

posanlj' :=: z"'^ ; en effet, on peut former une équal ion linéaire

et du second ordre en ^ a\anl pour solutions y)', et ^ SJ't»

cette écpiation, (piand on v posera :;""' ^^j', fouinira alors récpialion (Il )'.

Cela posé, chercher la condilion [jour qu une équaliuii d'ordre n

se transforme en une du second par la subsliuilion :;"^' = i-, ou ail ses intégrales de la forme Vi , J'i ^, J'i /-, .... c'est une seule et même question.

Or éliminons c""', z'^~'- z' . . . ., z'"'^ entre les équations (f)), (7), (8) : nous obtiendrons, comme nous l'avons fait observer, une équation d'ordre n

d" y ,Jn-\ y

Si, entre les équations qui donnent />,, />;,, . . ., />„ et leurs dérivées, on élimine «, h et leurs dérivées, on obtiendra des relations invariantes exprimant que l'équation (())a ses solutions de la forme )',, y, <, ...,)', ^""' . On peut obtenir ces relations autrement : formons Téipiation admettant les solutions distinctes j',, n,, ..., (""^y^. Soit F(j)') cette équation, on aura F()',) = o et F(^j^,):=o; donc les équations |'(r) = o et F(f)') = o ont une solution commune, et l'on peut dire que

ont chacune une solution commune avec F=:o, que nous supposerons être l'équation (9). Réciproquement, si les équations (10) ont chacune une solution commune avec F = o, celte équation aura pour solutions j',, ty^, t-y\, •••; or. pour exprimer que deux, équations ont une intégrale commune (|). \'*[))i il faut une condition; donc enfin, pour exprimer que l'équation F^o a une solution commune avec chacune des n — 1 équations (10), il faudra écrire n — 1 relations entre les coefficients p et leurs dérivées; ces relations seront d'ailleurs rationnelles. Ces relations seront évidemment invariantes; c'est-à-dire que leurs premiers membres seront des invariants; eu divisant alors, si cela est L. — Traite d'Analyse. V, 12

Ïj8 CHAPITRE III.

nécessaire, les premiers membres de ces équations par une puissance convenable de l'un d'eux, on trouvera n — 2 invariants absolus.

Ces n — 2 invariants absolus seront distincts, car la relation qui exprime que F(y) a une intégrale commune avec F(t'y)csl évidemment distincte de celle qui exprime qu'elle a une intégrale commune avec F(tJj').

S'il fallait elTectivemenl appliquer ce procédé à la recherche des invariants, il faudrait y renoncer; car les calculs seraient d'une longueur rebutante : nous allons indiquer une autre méthode encore assez pénible à appliquer, mais plus pratique, et qui aura en outre l'avantage de bien mettre en évidence les propriétés des invariants. La méthode précédente établit le théorème suivant :

Pour qu^iiie équalion dijj'éreiiiielle linéaire puisse se ramener à une équation du second ordre par un changement de variable

il faut et il suffit que ses invariants soient nuls.