XXIII. — Équation canonique invariante

Je suppose que l'on connaisse un invariant \ de léqualion dilTérenlielIc

eirectuons la siibstilution

dx

et déterminons es et 'l de telle sorte que la lonclion r, transformée de V, soit égale à l'unité et que le coefficient />/ de

■ ^. dans l'écpiatioii transformée soil égal à l'iinilé. Les

n — 2 invariants absolus sont des fonctions de ju. />i, . . ., Pn] donc il existe n — 3 relations entre/?,, /)o, . . . , pu et les invariants; si donc on rend/?, égal à zéro et si l'on choisit un invariant, c'est-à-dire une fonction des p égale à un, les/? seront des fonctions des invariants absolus, c'est-à-dire euxmêmes des invariants absolus.

Le même raisonnement prouve évidemment que l'on peut choisir arbitrairement deux coefficients de l'équation transformée, pourvu qu'ils ne soient pas pris égaux à des fonctions de X qui ne soient pas fonctions des invariants, et l'équation transformée aura encore pour coefficients des invariants absolus. Mais, si nous avions dit de prendre /?, = o, c'est qu'il est facile d'annuler ce coefficient et beaucoup plus difficile d'annuler les autres.

Nous voilà donc en état de calculer tous les invariants absolus, pourvu que nous ayons à notre disposition un seul invariant. Nous appellerons équation canonique invariante l'équation que nous venons d'apprendre à former et dont les coefficients sont des invariants absolus.

Lorsque tous les invariants sont constants, les coefficients de l'équation canonique sont constants; donc :

Lorsque les invariants cV une équation sont constants, elle peut se ramener à une équation à coefficients constants par un cliangement de variables.

Soient p^, /?o, ..., p,t des quantités rationnellement exprimables au moyen de a et ^j : si entre a et ^i il existe une relation y( y., |j)^o de genre [i., on dira que les quantités p forment un ensemble de genre jx [bien entendu, si l'on peut choisir a et ^ de manière quey*(a, 1^) = o soit d'un genre v différent d'e a et si v << ui., on dira que le genre de l'ensemble/?,, /?2> ••• estv].

Si l'on convient d'appeler équation difi'érentielle de genre <^ celle dont les coefficients forment un ensemble de genre [jl, on pourra énoncer le théorème suivant, dû à AL Halphen,

i8o ciiAi'iTni: m.

ainsi que loules les considérations précédentes sur les invariants {Mémoires des Savants étrangers, iSH/j).

Pour qiC une équation différentielle linéaire soit réductible à une équation de génie jjl, il faut et il suffit que ses invariants absolus forment un ensemble de genre |Ji et, en particulier, poui- que Ion puisse rendre ses coefficients rationnels, il faut et il suffit i/ue ses invariants absolus soient rationnels.

Nous ferons une dernière remarque, c'est que tout invariant d'une équation est aussi un invariant de l'équation au multiplicateur ou de l'adjointe : cela résulte de la façon même dont se calculent les cocfficienls de ladjoinle (p. \'i~).